Question

已知|

a

|=2，|

b

|=1，

a

⊥

b

，若

a

+λ

b

與

a

-λ

b

的夾角θ是某銳角三角形的最大角，且λ＜0，則λ的取值范圍是?（　　）

• A、-2＜λ＜0
• B、λ＜-2
• C、-2＜λ≤-

  2 3

  3

• D、-

  2 3

  3

  ≤λ＜0

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)量積表示兩個(gè)向量的夾角

專題：不等式的解法及應(yīng)用,平面向量及應(yīng)用

分析：根據(jù)題意，得出

a

+λ

b

與

a

-λ

b

夾角θ的取值范圍，即得cosθ的取值范圍；由向量的數(shù)量積求出λ的取值范圍．

解答： 解：∵|

a

|=2，|

b

|=1，

a

⊥

b

，
∴

a

•

b

=0；
又∵

a

+λ

b

與

a

-λ

b

的夾角θ是某銳角三角形的最大角，
∴θ∈[

π

3

，

π

2

）；
∴cosθ∈（0，

1

2

]；
又∵cosθ=

( a +λ b )•( a -λ b )

| a +λ b |×| a -λ b |

=

a 2-λ2 b 2

( a +λ b )2 ( a -λ b )2

=

a 2-λ2 b 2

a 2+λ2 b 2

=

4-λ2

4+λ2

，
∴0＜

4-λ2

4+λ2

≤

1

2

；
即

4-λ2 4+λ2 ＞0 4-λ2 4+λ2 ≤ 1 2

，
解得-2＜λ≤-

2 3

3

，或

2 3

3

≤λ＜2；
又∵λ＜0，
∴λ的取值范圍是-2＜λ≤-

2 3

3

．
故選：C．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了平面向量的數(shù)量積的應(yīng)用問(wèn)題，也考查了不等式的解法與應(yīng)用問(wèn)題和一定的計(jì)算能力，是中檔題．