Question

（2000•上海）已知復數z₀=1-mi（m＞0），z=x+yi和w=x'+y'i，其中x，y，x'，y'均為實數，i為虛數單位，且對于任意復數z，有w=

.

z0

•

.

z

，|w|=2|z|．
（Ⅰ）試求m的值，并分別寫出x'和y'用x、y表示的關系式；
（Ⅱ）將（x、y）作為點P的坐標，（x'、y'）作為點Q的坐標，上述關系可以看作是坐標平面上點的一個變換：它將平面上的點P變到這一平面上的點Q，當點P在直線y=x+1上移動時，試求點P經該變換后得到的點Q的軌跡方程；
（Ⅲ）是否存在這樣的直線：它上面的任一點經上述變換后得到的點仍在該直線上？若存在，試求出所有這些直線；若不存在，則說明理由．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由題設，|w|=|

.

z0

•

.

z

|=|z0||z|=2|z|，求出|z₀|=2，繼而求出m，再根據復數相等得出x'和y'用x、y表示的關系式；
（Ⅱ）利用轉換，代換的方法，求軌跡方程；
（Ⅲ）假設存在這樣的直線，∵平行坐標軸的直線顯然不滿足條件，所求直線可設為y=kx+b（k≠0）
結合以上兩問求解．

解答：解：（Ⅰ）由題設，|w|=|

.

z0

•

.

z

|=|z0||z|=2|z|，∴|z₀|=2，
于是由1+m2=4，且m＞0，得m=

3

，…（3分）
因此由x′+y′i=

.

(1- 3i )

•

.

(x+yi)

=x+

3y

+(

3x

-y)i，
得關系式

x′=x+ 3y y′= 3x -y

…（5分）
（Ⅱ）設點P（x，y）在直線y=x+1上，則其經變換后的點Q（x'，y'）滿足

x′=(1+ 3 )x+ 3 y′=( 3x -1)x-1

，…（7分）
消去x，得y′=(2-

3

)x′-2

3

+2，
故點Q的軌跡方程為y=(2-

3

)x-2

3

+2…（10分）
（3）假設存在這樣的直線，∵平行坐標軸的直線顯然不滿足條件，
∴所求直線可設為y=kx+b（k≠0），…（12分）
[解法一]∵該直線上的任一點P（x，y），其經變換后得到的點Q(x+

3

y，

3

x-y)仍在該直線上，
∴

3

x-y=k(x+

3

y)+b，
即-(

3

k+1)y=(k-

3

)x+b，
當b≠0時，方程組

-( 3 k+1)=1 k- 3 =k

無解，
故這樣的直線不存在．                                            …（16分）
當b=0時，由

-( 3 k+1)

1

=

k- 3

k

，
得

3

k2+2k-

3

=0，
解得k=

3

3

或k=-

3

，
故這樣的直線存在，其方程為y=

3

3

x或y=-

3

x，…（18分）
[解法二]取直線上一點P(-

b

k

，0)，其經變換后的點Q(-

b

k

，-

3 b

k

)仍在該直線上，
∴-

3 b

k

=k(-

b

k

)+b，
得b=0，…（14分）
故所求直線為y=kx，取直線上一點P（0，k），其經變換后得到的點Q(1+

3

k，

3

-k)仍在該直線上．
∴

3

-k=k(1+

3

k)，…（16分）
即

3

k2+2k-

3

=0，得k=

3

3

或k=-

3

，
故這樣的直線存在，其方程為y=

3

3

x或y=-

3

x，…（18分）

點評：本題考查復數的有關概念和計算，軌跡方程的求解，考查轉化、代入、計算、推理能力．