如圖,矩形ABCD中,∠ACB=30°,將一塊直角三角板的直角頂點(diǎn)P放在兩對角線AC,BD的交點(diǎn)處,以點(diǎn)P為旋轉(zhuǎn)中心轉(zhuǎn)動三角板,并保證三角板的兩直角邊分別于邊AB,BC所在的直線相交,交點(diǎn)分別為E,F(xiàn).
(1)當(dāng)PE⊥AB,PF⊥BC時,如圖1,則的值為 ;
(2)現(xiàn)將三角板繞點(diǎn)P逆時針旋轉(zhuǎn)α(0°<α<60°)角,如圖2,求的值;
(3)在(2)的基礎(chǔ)上繼續(xù)旋轉(zhuǎn),當(dāng)60°<α<90°,且使AP:PC=1:2時,如圖3,的值是否變化?證明你的結(jié)論.
解:(1)。
(2)如答圖1,過點(diǎn)P作PM⊥AB于點(diǎn)M,PN⊥BC于點(diǎn)N,則PM⊥PN。
∵PM⊥PN,PE⊥PF,∴∠EPM=∠FPN。
又∵∠PME=∠PNF=90°,∴△PME∽△PNF。
∴。
由(1)知,,
∴。
(3)變化。證明如下:
如答圖2,過點(diǎn)P作PM⊥AB于點(diǎn)M,PN⊥BC于點(diǎn)N,則PM⊥PN,PM∥BC,PN∥AB。
∵PM∥BC,PN∥AB,
∴∠APM=∠PCN,∠PAM=∠CPN。
∴△APM∽△PCN。
∴,得CN=2PM。
在Rt△PCN中,,
∴。
∵PM⊥PN,PE⊥PF,∴∠EPM=∠FPN。
又∵∠PME=∠PNF=90°,∴△PME∽△PNF。
∴。
∴的值發(fā)生變化
【解析】
試題分析:(1)證明△APE≌△PCF,得PE=CF;在Rt△PCF中,解直角三角形求得的值:
∵矩形ABCD,∴AB⊥BC,PA=PC。
∵PE⊥AB,BC⊥AB,∴PE∥BC!唷螦PE=∠PCF。
∵PF⊥BC,AB⊥BC,∴PF∥AB。∴∠PAE=∠CPF。
∵在△APE與△PCF中,∠PAE=∠CPF,PA=PC,∠APE=∠PCF,
∴△APE≌△PCF(ASA)。∴PE=CF。
在Rt△PCF中,,∴。
(2)如答圖1所示,作輔助線,構(gòu)造直角三角形,證明△PME∽△PNF,并利用(1)的結(jié)論,求得的值;
(3)如答圖2所示,作輔助線,構(gòu)造直角三角形,首先證明△APM∽△PCN,求得;然后證明△PME∽△PNF,從而由求得的值。與(1)(2)問相比較,的值發(fā)生了變化!
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A、a≥
| ||
B、a≥b | ||
C、a≥
| ||
D、a≥2b |
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