Question

已知：如圖，平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)A、B的坐標(biāo)分別為A（4，0），B（0，﹣4），P為y軸上B點(diǎn)下方一點(diǎn)，PB=m（m＞0），以AP為邊作等腰直角三角形APM，其中PM=PA，點(diǎn)M落在第四象限．
（1）求直線AB的解析式；
（2）用m的代數(shù)式表示點(diǎn)M的坐標(biāo)；
（3）若直線MB與x軸交于點(diǎn)Q，判斷點(diǎn)Q的坐標(biāo)是否隨m的變化而變化，寫出你的結(jié)論并說明理由．

Answer 1

解：（1）設(shè)直線AB的解析式為y=kx+b（k≠0）．
則 解
∴直線AB的解析式為y=x﹣4．
（2）作MN⊥y軸于點(diǎn)N．
∵△APM為等腰直角三角形，PM=PA，
∴∠APM=90°．
∴∠OPA+∠NPM=90°．
∵∠NMP+∠NPM=90°，
∴∠OPA=∠NMP．
又∵∠AOP=∠PNM=90°，
∴△AOP≌△PNM．（AAS）
∴OP=NM，OA=NP．
∵PB=m（m＞0），
∴NM=m+4，ON=OP+NP=m+8．
∵點(diǎn)M在第四象限，
∴點(diǎn)M的坐標(biāo)為（m+4，﹣m﹣8）．
（3）答：點(diǎn)Q的坐標(biāo)不變． 設(shè)直線MB的解析式為y=nx﹣4（n≠0）．
∵點(diǎn)M（m+4，﹣m﹣8）． 在直線MB上，
∴﹣m﹣8=n（m+4）﹣4． 整理，
得（m+4）n=﹣m﹣4．
∵m＞0，
∴m+4≠0．解得 n=﹣1．
∴直線MB的解析式為y=﹣x﹣4．
∴無論m的值如何變化，點(diǎn)Q的坐標(biāo)都為（﹣4，0）．