【題目】某校數(shù)學(xué)興趣小組開展了一次課外活動(dòng),過程如下:如圖①,正方形ABCD中,AB=4,將三角板放在正方形ABCD上,使三角板的直角頂點(diǎn)與D點(diǎn)重合.三角板的一邊交AB于點(diǎn)P,另一邊交BC的延長線于點(diǎn)Q.
(1)求證:AP=CQ;
(2)如圖②,小明在圖1的基礎(chǔ)上作∠PDQ的平分線DE交BC于點(diǎn)E,連接PE,他發(fā)現(xiàn)PE和QE存在一定的數(shù)量關(guān)系,請猜測他的結(jié)論并予以證明;
(3)在(2)的條件下,若AP=1,求PE的長.

【答案】證明:(1)∵四邊形ABCD是正方形,
∴∠ADC=∠A=∠B=∠BCD=∠DCQ=90°,AD=BC=CD=AB=4,
∵∠PDQ=90°,
∴∠ADP=∠CDQ,
在△APD和△CQD中,
,
∴△APD≌△CQD(ASA),
∴AP=CQ;
(2)解;PE=QE,理由如下:
由(1)得:△APD≌△CQD,
∴PD=QD,
∵DE平分∠PDQ,
∴∠PDE=∠QDE,
在△PDE和△QDE中,

∴△PDE≌△QDE(SAS),
∴PE=QE;
(3)解:由(2)得:PE=QE,由(1)得:CQ=AP=1,
∴BQ=BC+CQ=5,BP=AB﹣AP=3,
設(shè)PE=QE=x,則BE=5﹣x,
在Rt△BPE中,由勾股定理得:32+(5﹣x)2=x2 ,
解得:x=3.4,
即PE的長為3.4.
【解析】(1)由正方形的性質(zhì)得出∠ADC=∠A=∠B=∠BCD=∠DCQ=90°,AD=BC=CD=AB=4,證出∠ADP=∠CDQ,由ASA證明△APD≌△CQD,得出對應(yīng)邊相等即可;
(2)由全等三角形的性質(zhì)得出PD=QD,證出∠PDE=∠QDE,由SAS證明△PDE≌△QDE,得出對應(yīng)邊相等即可;
(3)由(2)和(1)得出PE=QE,CQ=AP=1,求出BQ=BC+CQ=5,BP=AB﹣AP=3,設(shè)PE=QE=x,則BE=5﹣x,在Rt△BPE中,由勾股定理得出方程,解方程即可.

練習(xí)冊系列答案
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請根據(jù)上述信息解答下列問題:
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