Question

【題目】已知,點A為⊙0外一點,過A作⊙O的切線與⊙O相切于點P，連接PO并延長至圓上一點B連接AB交⊙O于點C,連接OA交⊙O于點D連接DP且∠OAP=∠DPA。

（1）求證：PO=PD

(2)若AC=,求⊙O的半徑。

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）半徑.

【解析】

（1）設(shè)∠OAP=∠DPA=x，根據(jù)三角形外角的性質(zhì)和切線的性質(zhì)，分別表示出∠ODP和∠OPD，根據(jù)∠OPD=∠ODP可求出x=30°，易得△ODP是等邊三角形，結(jié)論得證；

（2）設(shè)半徑為r，則AP=，然后用勾股定理求得，最后根據(jù)切割線定理列出方程求解即可.

解：（1）設(shè)∠OAP=∠DPA=x，則∠ODP=2x，

∵PA為切線，

∴∠OPA=90°，

∴∠OPD=90°-x，

∵∠OPD=∠ODP，

∴90°-x=2x，

解得：x=30°，

∴∠ODP=∠OPD=90°-x=60°，

∴△ODP是等邊三角形，

∴PO=PD；

（2）設(shè)半徑為r，

由（1）得∠OAP=30°，

∴AP=，

∴，

由切割線定理可得：AP2=AC·AB，即，

解得：.