Question

【題目】如圖所示，四邊形ABCD中，，對角線AC、BD交于點E，且，，若，，則CE的長為_____．

Answer 1

【答案】

【解析】

此題有等腰三角形，所以可作BH⊥CD，交EC于點G，利用三線合一性質及鄰補角互補可得∠BGD=120°，根據四邊形內角和360°，得到∠ABG+∠ADG=180°．此時再延長GB至K，使AK=AG，構造出等邊△AGK．易證△ABK≌△ADG，從而說明△ABD是等邊三角形，BD=AB=，根據DG、CG、GH線段之間的關系求出CG長度，在Rt△DBH中利用勾股定理及三角函數知識得到∠EBG的正切值，然后作EF⊥BG，求出EF，在Rt△EFG中解出EG長度，最后CE=CG+GE求解．

如圖，作于H，交AC于點G，連接DG．

∵，

∴BH垂直平分CD，

∴，

∴，

∴，

∴，

延長GB至K，連接AK使，則是等邊三角形，

∴，

又，

∴≌（），

∴，

∴是等邊三角形，

∴，

設，則，，

∴，

∴，

在中，，解得，，

當時，，所以，

∴，，，

作，設，，，，，

∴，，

∴，則，

故答案為：