Question

已知：OE是⊙E的半徑，以OE為直徑的⊙D與⊙E的弦OA相交于點B，在如圖所示的直角坐標系中，⊙E交y軸于點C，連接BE、AC．
（1）當點A在第一象限⊙E上移動時，寫出你認為正確的結論：

 

（至少寫出四種不同類型的結論）；
（2）若線段BE、OB的長是關于x的方程x²-（m+1）x+m=0的兩根，且OB＜BE，OE=2，求以E點為頂點且經過點B的拋物線的解析式；
（3）該拋物線上是否存在點P，使得△PBE是以BE為直角邊的直角三角形？若存在，求出點P的坐標；若不存在，說明其理由．

Answer 1

分析：（1）根據圓周角定理可得出∠OBE=∠A，那么BE∥AC，△OBE∽△OAC…本題的答案不唯一，只要正確都可以．
（2）已知了OE=2，根據勾股定理可得出OB²+BE²=（BO+BE）²-2OB•BE=4，然后根據一元二次方程根與系數的關系即可求出m的值，也就能求出OB，BE的長，過B作y軸的垂線，根據三角形面積的不同表示方法即可求出B點的縱坐標，進而可求出其橫坐標．然后根據E，B點的坐標，用頂點式二次函數通式設拋物線的解析式，然后將B點坐標代入即可求出以E為頂點過B點的拋物線的解析式．
（3）本題要分情況進行討論：
①當∠PBE=90°時，那么P點必為直線OB與拋物線的交點，因此可先求出直線OB的解析式然后聯立拋物線的解析式求出P點的坐標．
②當∠BEP=90°時，設直線EP與圓D交于G點，那么四邊形EGOB是個矩形，然后參照求B點坐標時的方法求出G點的坐標，再按①的步驟進行求解即可．

解答：解：（1）AC∥BE；AC⊥OA，BE⊥OB，∠OAC=90°；OB=AB，OE=CE；
BE=

1

2

AC，OA=2OB；∠BEO=∠ACO，∠CAO=∠EBO；

OB

OA

=

BE

AC

；
OB²+BE²=OE²，OA²+AC²=OC²；

AC

的度數=

BE

的度數．

（2）∵BE、OB的長是關于x的方程x²-（m+1）x+m=0的兩根．
∴

BE+OB=m+1 BE•OB=m

，
又∵OE是⊙D直徑，且OE=2，
∴∠OBE=90°．
∴OB²+BE²=OE²=4．
即（OB+BE）²-2OB•BE=4．
∴（m+1）²-2m=4，
解之，得m=±

3

．
∵BE•OB=m＞0
∴m=

3

．
將m=

3

代入原方程，得x²-（

3

+1）x+

3

=0
解之，得x₁=

3

，x₂=1，
∵OB＜BE
∴OB=1，BE=

3

過B作BF⊥x軸于F，則∠BOF=90°-∠BOE=∠OEB=30度．
∴BF=

1

2

OB=

1

2

，OF=

3

2

．即B（

3

2

，

1

2

）．
∵拋物線頂點為E（0，2）
∴設拋物線的解析式為y=ax²+2．
將B點坐標代入，得a=-2．
所求拋物線解析式為y=-2x²+2．

（3）拋物線上存在點P，使得△PBE是以BE為直角邊的直角三角形．
①當∠PBE=90°時，點P必須在BO的延長線上，
設直線OB的解析式為y=kx．
則

1

2

=

3

2

k．
∴k=

3

3

，y=

3

3

x．
解方程組

y=-2x2+2 y= 3 3 x

得

x1=- 2 3 3 y1=- 2 3

x2= 3 2 y2= 1 2

（即為B點，舍去）
②當∠PEB為直角時，延長EP交⊙D于G，連接BG、OG，則BG為⊙D直徑，
四邊形OBEG為⊙D內接矩形．
∴OG=BE=

3

．∠GOE=∠BEO=30°．
過G作GH⊥y軸于H，則GH=

1

2

，OG=

3

2

，OH=

3

2

．G（-

3

2

，

3

2

）．
可求得直線EG的解析式為y=

3

3

x+2．
解方程組

y=-2x2+2 y= 3 3 x+2

得

x1=- 3 6 y1= 11 6

x2=0 y2=2

（即為E點，舍去）
∴點P的坐標為（-

2

3

3

，-

2

3

）或（-

3

6

，

11

6

）．

點評：本題考查了圓周角定理、一元二次方程根與系數的關系、二次函數解析式的確定、函數圖象交點等知識及綜合應用知識、解決問題的能力．