Question

7．在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=2，點P為邊BC上的一動點（不與B、C重合），點P關(guān)于直線AC、AB的對稱點分別為M、N，連接MN交邊AB于點F，交邊AC于點E．
（1）如圖1，當(dāng)點P為邊BC的中點時，求∠M的正切值；
（2）連接FP，設(shè)CP=x，S_△MPF=y，求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，并寫出定義域；
（3）連接AM，當(dāng)點P在邊BC上運動時，△AEF與△ABM是否一定相似？若是，請證明；若不是，請求出當(dāng)△AEF與△ABM相似時CP的長．

Answer 1

分析 （1）先求出CP=1，利用對稱得出∠MBN=90°，BP=BP=3，最后用銳角三角函數(shù)的定義即可；
（2）先求出FG，再利用同角的三角函數(shù)相等，得出PG，再用三角形的面積公式求解即可；
（3）利用對稱先判斷出AM=AP=AN，進而得出三角形AMN是等腰直角三角形，即可得出∠AMN=45°，得出∠AFE=∠AMB，即可判斷出△AEF∽△BAM．

解答 解：（1）如圖1，連接BN，
∵點P為邊BC的中點，
∴CP=BP=$\frac{1}{2}$BC=1，
∵點P與點M關(guān)于AC對稱，
∴CM=CP=1
∵∠ACB=90°，AC=BC=2，
∴∠BAC=∠ABC=45°，
∵點P與點N關(guān)于AB對稱，
∴BP=BN=1，∠ABN=∠ABC=45°，
∴∠CBM=90°，BM=CM+BC=3
在Rt△MBN中，tan∠M=$\frac{BN}{BM}$=$\frac{1}{3}$；

（2）如圖2，過點F作FG⊥BC，
設(shè)PG=m，
∴BG=BP-PG=2-x-m，MG=MP+PG=2x+m，
在Rt△BFG中，∠FBG=45°，
∴FG=BG=2-x-m，
在Rt△FMG中，tan∠M=$\frac{FG}{MG}$=$\frac{2-x-m}{2x+m}$，
在Rt△MNB中，tan∠M=$\frac{BN}{BM}$=$\frac{2-x}{2+x}$，
∴$\frac{2-x-m}{2x+m}=\frac{2-x}{2+x}$，
∴m=$\frac{（x-2）^{2}}{4}$，
∴FG=2-x-$\frac{（x-2）^{2}}{4}$
∴y=S_△MPF=$\frac{1}{2}$MP•FG=$\frac{1}{2}$×2x×[2-x-$\frac{（x-2）^{2}}{4}$]=$\frac{x（2-x）（2+x）}{4}$（0＜x＜2）；

（3）△AEF∽△BAM
理由：如圖3，連接AM，AP，AN，BN，
∵點P關(guān)于直線AC、AB的對稱點分別為M、N，
∴AM=AP=AN．∠MAC=∠PAC，∠PAB=∠NAB，
∵∠BAC=∠PAC+∠PAB=45°，
∴∠MAN=∠MAC+∠PAC+∠BAP+∠NAB=2（∠PAC+∠PAB）=90°，
∴∠AMN=45°=∠ABC，
∵∠AFE=∠ABC+∠BMF，∠AMB=∠AMN+∠BMF，
∴∠AFE=∠AMB，∵∠EAF=∠ABM=45°，
∴△AEF∽△BAM．

點評 此題是相似形綜合題，主要考查了銳角三角函數(shù)，勾股定理，對稱的性質(zhì)，三角形的面積公式，相似三角形的判定和性質(zhì)，解本題的關(guān)鍵是得出△PFM的邊PM上高和△MAN是等腰直角三角形，是一道很好的中考常考題．