Question

已知：如圖，直線y=2x+b與x軸、y軸分別相交于點(diǎn)E、點(diǎn)B（0，3）．
（1）填空：b=

3

；
（2）若直線y=-

1

2

x與直線y=2x+b的交點(diǎn)為A．
①求∠OAB的度數(shù)；
②在直線AB的右側(cè)作菱形ABCD，現(xiàn)有拋物線y=（x-m）²+n的頂點(diǎn)T在直線y=-

1

2

x上移動(dòng)，若此拋物線同時(shí)與邊AB、AD都相交，試m的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）由于直線y=2x+b的函數(shù)圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)B，將點(diǎn)B的坐標(biāo)代入直線的解析式中，即可確定b的值．
（2）①首先聯(lián)立這兩條直線的解析式得到點(diǎn)A的坐標(biāo)；進(jìn)一步能求出線段OA、AB的長(zhǎng)，OB的長(zhǎng)易知，然后根據(jù)這三邊的長(zhǎng)判斷∠OAB的度數(shù)；
②由①知，AB=AD=2OA，那么點(diǎn)O是線段AD的中點(diǎn)，此時(shí)發(fā)現(xiàn)點(diǎn)A、D關(guān)于點(diǎn)O對(duì)稱，則點(diǎn)D的坐標(biāo)可得；通過(guò)觀察圖示不難看出，當(dāng)點(diǎn)T、A重合時(shí)，拋物線與線段AB、AD都相交（交于一個(gè)公共點(diǎn)A），即m的最小值與點(diǎn)A的橫坐標(biāo)相同，因此只需判斷m的最大值即可；此時(shí)需要分兩步考慮：
Ⅰ、當(dāng)拋物線的對(duì)稱軸左側(cè)圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)B時(shí)，先求出m的值，即可確定拋物線的解析式，然后再判斷拋物線的圖象是否與線段AD相交，若相交，那么此時(shí)的m值即為最大值，若不想交，再考慮下一步；
Ⅱ、當(dāng)拋物線的對(duì)稱軸左側(cè)圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)D時(shí)，方法同上．

解答：解：（1）由題意知，直線y=2x+b經(jīng)過(guò)點(diǎn)B（0，3），則有：
2×0+b=3，b=3；
故填：3．

（2）①聯(lián)立y=-

1

2

x與y=2x+3，得：

y=- 1 2 x y=2x+3

，
解得

x=- 6 5 y= 3 5

則點(diǎn)A（-

6

5

，

3

5

）；
則：OA²=（-

6

5

）²+（

3

5

）²=

9

5

，AB²=（-

6

5

）²+（3-

3

5

）²=

36

5

，OB²=3²=9；
則OA²+AB²=OB²，即∠OAB=90°．
②依題意，點(diǎn)T（m，n）在直線y=-

1

2

x上，那么 n=-

1

2

m，即拋物線的解析式：y=（x-m）²-

1

2

m，點(diǎn)T（m，-

1

2

m）；
在Rt△OBE中，OE=

3

2

，OB=3，∴tan∠OBE=

1

2

，AB=2OA；
由于四邊形ABCD是菱形，那么AD=AB=2OA，即點(diǎn)O是線段AD的中點(diǎn)，則點(diǎn)D（

6

5

，-

3

5

）．
Ⅰ、當(dāng)點(diǎn)T、A重合時(shí)，拋物線同時(shí)經(jīng)過(guò)線段AB、AD，此時(shí)m=-

6

5

；
Ⅱ、當(dāng)拋物線的對(duì)稱軸左側(cè)圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)B時(shí)，有：
（0-m）²-

1

2

m=3，解得：m₁=2、m₂=-

3

2

（舍）；
故拋物線：y=（x-2）²-1；
當(dāng)x=

6

5

時(shí)，y=（

6

5

-2）²-1=-

9

25

＞-

3

5

，
所以拋物線只與線段AB相交，不與線段AD相交，不合題意；
Ⅲ、當(dāng)拋物線的對(duì)稱軸左側(cè)圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)D時(shí)，由Ⅱ知，拋物線的圖象與線段AB、AD都相交；
將點(diǎn)（

6

5

，-

3

5

）代入y=（x-m）²-

1

2

m中，有：
（

6

5

-m）²-

1

2

m=-

3

5

，解得：m₁=

17

10

，m₂=

6

5

（舍）；
綜上，m的取值范圍：-

6

5

≤m≤

17

10

．

點(diǎn)評(píng)：此題的難點(diǎn)在于最后一題，解題的關(guān)鍵是判斷m取最大、最小值時(shí)，拋物線的圖象經(jīng)過(guò)了哪些點(diǎn)；在求m的最大取值時(shí)，容易出現(xiàn)錯(cuò)誤，有些同學(xué)很可能將點(diǎn)D的橫坐標(biāo)直接視為m的最大值，但忽視了拋物線對(duì)稱軸左側(cè)圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)D時(shí)的情況，這就需要通過(guò)圖示作出正確的判斷．