已知正方形ABCD中,E為對(duì)角線BD上一點(diǎn),過(guò)E點(diǎn)作EF⊥BD交BC于F,連接DF,G為DF中點(diǎn),連接EG,CG.
(1)直接寫出線段EG與CG的數(shù)量關(guān)系;
(2)將圖1中△BEF繞B點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)45°,如圖2所示,取DF中點(diǎn)G,連接EG,CG.
你在(1)中得到的結(jié)論是否發(fā)生變化?寫出你的猜想并加以證明.
(3)將圖1中△BEF繞B點(diǎn)旋轉(zhuǎn)任意角度,如圖3所示,再連接相應(yīng)的線段,問(wèn)(1)中的結(jié)論是否仍然成立?(不要求證明)
解:(1)CG=EG 1分 (2)(1)中結(jié)論沒(méi)有發(fā)生變化,即EG=CG. 證明:連接AG,過(guò)G點(diǎn)作MN⊥AD于M,與EF的延長(zhǎng)線交于N點(diǎn). 在△DAG與△DCG中, ∵AD=CD,∠ADG=∠CDG,DG=DG, ∴△DAG≌△DCG. ∴AG=CG 2分 在△DMG與△FNG中, ∵∠DGM=∠FGN,F(xiàn)G=DG,∠MDG=∠NFG, ∴△DMG≌△FNG. ∴MG=NG 3分 在矩形AENM中,AM=EN 4分 在Rt△AMG與Rt△ENG中, ∵AM=EN,MG=NG, ∴△AMG≌△ENG. ∴AG=EG 5分 ∴EG=CG 6分 (3)(1)中的結(jié)論仍然成立 7分 |
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