Question

平面直角坐標系xOy中，拋物線y=ax²-4ax+4a+c與x軸交于點A、B，與y軸的正半軸交于點C，點A的坐標為（1，0），OB=OC．
（1）求此拋物線的解析式；
（2）若點P是線段BC上的一個動點，過點P作y軸的平行線與拋物線在x軸下方交于點Q，試問線段PQ的長度是否存在最大值？若存在，求出其最大值；若不存在，請說明理由；
（3）若此拋物線的對稱軸上的點M滿足∠AMC=45°，求點M的坐標．

Answer 1

解：（1）拋物線的對稱軸為直線x=-=2，
∵點A（1，0），
∴點B的坐標為（3，0），
∵點C在y軸的正半軸，OB=OC，
∴點C的坐標為（0，3），
∴，
解得，
∴此拋物線的解析式y(tǒng)=x²-4x+3；

（2）設直線BC的解析式為y=kx+b（k≠0），
則，
解得，
∴直線BC的解析式為y=-x+3，
∴PQ=（-x+3）-（x²-4x+3）=-x²+3x=-（x-）²+，
∵點Q在x軸下方，
∴1＜x＜3，
又∵-1＜0，
∴當x=時，PQ的長度有最大值；

（3）如圖，設△ABC的外接圓的圓心D，
則點D在對稱性直線x=2上，也在直線BC的垂直平分線y=x上，
∴點D的坐標為（2，2），
∴外接圓的半徑為=，
∵OB=OC，
∴∠ABC=45°，
∴∠AMC=45°時，點M為⊙D與對稱軸的交點，
點M在點D的下方時，M₁（2，2-），
點M在點D的上方時，M₂（2，2+），
綜上所述，M（2，2-）或（2，2+）時，拋物線的對稱軸上的點M滿足∠AMC=45°．
分析：（1）求出拋物線的對稱軸，再根據對稱性求出點B的坐標，然后求出點C的坐標，再把點A、C的坐標代入拋物線求出a、c即可得解；
（2）利用待定系數法求出直線BC的解析式，然后表示出PQ的長，再根據二次函數的最值問題解答；
（3）求出△ABC的外接圓的圓心D的坐標，再求出外接圓的半徑，根據在同圓或等圓中，同弧所對的圓周角相等可得∠AMC=∠ABC=45°，再分點M在點D的下方和上方兩種情況寫出點M的坐標即可．
點評：本題是二次函數綜合題型，主要利用了待定系數法求二次函數解析式，待定系數法求一次函數解析式，二次函數的最值問題，（1）根據函數解析式的特點確定出對稱軸從而求出點B的坐標是解題的關鍵，（2）要注意點Q的橫坐標的取值范圍，（3）考慮利用同弧所對的圓周角相等，作出△ABC的外接圓并求出圓心和半徑是解題的關鍵．