Question

如圖1，已知直線y=kx與拋物線交于點(diǎn)A（3，6）．

（1）求直線y=kx的解析式和線段OA的長度；

（2）點(diǎn)P為拋物線第一象限內(nèi)的動點(diǎn)，過點(diǎn)P作直線PM，交x軸于點(diǎn)M（點(diǎn)M、O不重合），交直線OA于點(diǎn)Q，再過點(diǎn)Q作直線PM的垂線，交y軸于點(diǎn)N．試探究：線段QM與線段QN的長度之比是否為定值？如果是，求出這個定值；如果不是，說明理由；

（3）如圖2，若點(diǎn)B為拋物線上對稱軸右側(cè)的點(diǎn)，點(diǎn)E在線段OA上（與點(diǎn)O、A不重合），點(diǎn)D（m，0）是x軸正半軸上的動點(diǎn)，且滿足∠BAE=∠BED=∠AOD．繼續(xù)探究：m在什么范圍時，符合條件的E點(diǎn)的個數(shù)分別是1個、2個？

Answer 1

（1）y=2x, （2）線段QM與線段QN的長度之比是一個定值2（3）當(dāng)時，E點(diǎn)只有1個，當(dāng)時，E點(diǎn)有2個

【解析】解：（1）把點(diǎn)A（3，6）代入y=kx 得；6=3k，即k=2。

 ∴y=2x。

∴。

（2）線段QM與線段QN的長度之比是一個定值，

理由如下：

∴線段QM與線段QN的長度之比是一個定值。

（3）如圖2，延長AB交x軸于點(diǎn)F，過點(diǎn)F作FC⊥OA于點(diǎn)C，過點(diǎn)A作AR⊥x軸于點(diǎn)R。

∵∠AOD=∠BAE，∴AF=OF。

∴OC=AC=。

∵∠ARO=∠FCO=90°，∠AOR=∠FOC，

∴△AOR∽△FOC。∴�！郞F=。

∴點(diǎn)F（，0）。

設(shè)點(diǎn)B（x，），過點(diǎn)B作BK⊥AR于點(diǎn)K，則△AKB∽△ARF。

∴，即。

解得x₁=6，x₂=3（舍去）。∴點(diǎn)B（6，2）。

∴BK=6﹣3=3，AK=6﹣2=4。∴AB=5。

在△ABE與△OED中，∵∠BAE=∠BED，∴∠ABE+∠AEB=∠DEO+∠AEB。

∴∠ABE=∠DEO。

∴頂點(diǎn)為。

如圖3，

當(dāng)時，OE=x=，此時E點(diǎn)有1個；

當(dāng)時，任取一個m的值都對應(yīng)著兩個x值，此時E點(diǎn)有2個．

∴當(dāng)時，E點(diǎn)只有1個，當(dāng)時，E點(diǎn)有2個。