Question

   問題提出

   平面內(nèi)不在同一條直線上的三點(diǎn)確定一個(gè)圓．那么平面內(nèi)的四點(diǎn)(任意三點(diǎn)均不在同一

直線上），能否在同一個(gè)圓呢？

   初步思考

   設(shè)不在同一條直線上的三點(diǎn)A、B、C確定的圓為⊙O． 

    ⑴當(dāng)C、D在線段AB的同側(cè)時(shí)，

    如圖①，若點(diǎn)D在⊙O上，此時(shí)有∠ACB＝∠ADB，理由是                 ；

如圖②，若點(diǎn)D在⊙O內(nèi)，此時(shí)有∠ACB     ∠ADB；

如圖③，若點(diǎn)D在⊙O外，此時(shí)有∠ACB     ∠ADB．（填“＝”、“＞”或“＜”）；

由上面的探究，請(qǐng)直接寫出A、B、C、D四點(diǎn)在同一個(gè)圓上的條件：            ．

   類比學(xué)習(xí)

   （2）仿照上面的探究思路，請(qǐng)?zhí)骄浚寒?dāng)C、D在線段AB的異側(cè)時(shí)的情形．

 

此時(shí)有             ，   此時(shí)有               ， 此時(shí)有              ．

由上面的探究，請(qǐng)用文字語言直接寫出A、B、C、D四點(diǎn)在同一個(gè)圓上的條件：    ．   

  拓展延伸

  （3）如何過圓上一點(diǎn)，僅用沒有刻度的直尺，作出已知直徑的垂線？

      已知：如圖，AB是⊙O的直徑，點(diǎn)C在⊙O上．

      求作：CN⊥AB．

      作法：①連接CA，CB；

            ②在上任取異于B、C的一點(diǎn)D，連接DA，DB；

      ③DA與CB相交于E點(diǎn)，延長(zhǎng)AC、BD，交于F點(diǎn)；

      ④連接F、E并延長(zhǎng)，交直徑AB于M；

      ⑤連接D、M并延長(zhǎng)，交⊙O于N．連接CN．

   則CN⊥AB．

請(qǐng)按上述作法在圖④中作圖，并說明CN⊥AB的理由．（提示：可以利用（2）中的結(jié)論）

Answer 1

（1）同弧所對(duì)的圓周角相等．

  ∠ACB＜∠ADB，∠ACB＞∠ADB．

   答案不惟一，如：∠ACB＝∠ADB．················· 4分

（2）如圖：

此時(shí)∠ACB＋∠ADB＝180°, 此時(shí)∠ACB＋∠ADB＞180°, 此時(shí)∠ACB＋∠ADB＜180

若四點(diǎn)組成的四邊形對(duì)角互補(bǔ)，則這四點(diǎn)在同一個(gè)圓上．

（3）作圖正確．

∵AB是⊙O的直徑，C、D在⊙O上，

∴∠ACB＝90°，∠ADB＝90°．

∴點(diǎn)E是△ABF三條高的交點(diǎn)．

∴FM⊥AB．

∴∠EMB＝90°．

∠EMB＋∠EDB＝180°，

∴點(diǎn)E，M，B，D在同一個(gè)圓上．

∴∠EMD＝∠DBE．

又∵點(diǎn)N，C，B，D在⊙O上，

∴∠DBE＝∠CND，∠EMD＝∠CND．

∴FM∥CN．

∴∠CPB＝∠EMB＝90°．

∴CN⊥AB．

（注：其他正確的說理方法參照給分．）