Question

求所有的素?cái)?shù)對（p，q），使得pq|5^p+5^q．

Answer 1

若2|pq，不妨設(shè)p=2，則2q|5²+5^q，故q|5^q+25．
∵q|5^q-5，
∴q|30，即q=2，3，5．易驗(yàn)證素?cái)?shù)對（2，2）不合要求，（2，3），（2，5）合乎要求．
若pq為奇數(shù)且5|pq，不妨設(shè)p=5，則5q|5⁵+5^q，故q|5^q-1+625．
當(dāng)q=5時(shí)素?cái)?shù)對（5，5）合乎要求，當(dāng)q≠5時(shí)，由Fermat小定理有q|5^q-1-1，故q|626．由于q為奇素?cái)?shù)，而626的奇素因子只有313，所以q=313．經(jīng)檢驗(yàn)素?cái)?shù)對（5，313）合乎要求．
若p，q都不等于2和5，則有pq|5^p-1+5^q-1，故5^p-1+5^q-1≡0（bmodp）．①
由Fermat小定理，得5^p-1≡1（bmodp），②
故由①，②得5^q-1≡-1（bmodp）．③
設(shè)p-1=2^k（2r-1），q-1=2^l（2s-1），其中k，l，r，s為正整數(shù)．
若k≤l，則由②，③易知1=12l-k(2s-1)≡(5p-1)2l-k(2s-1)=52l(2r-1)(2s-1)=(5q-1)2r-1≡(-1)2r-1≡-1 (bmodp)，
這與p≠2矛盾！所以k＞l．
同理有k＜l，兩結(jié)論矛盾，即此時(shí)不存在合乎要求的（p，q）．
綜上所述，所有滿足題目要求的素?cái)?shù)對（p，q）為：
（2，3），（3，2），（2，5），（5，2），（5，5），（5，313）及（313，5）．