Question

如圖所示，在正方形上連接等腰直角三角形和正方形，無限重復(fù)同一過程，第一個(gè)正方形的邊長為1，第一個(gè)正方形與第一個(gè)等腰直角三角形的面積和為S₁，第二個(gè)正方形與第二個(gè)等腰直角三角形的面積和為S₂，…，第n個(gè)正方形與第n個(gè)等腰直角三角形的面積和為S_n．
（1）求出S₁、S₂、S₃、S₄．
（2）總結(jié)出S_n與S_n-1的關(guān)系，并猜想出S_n與n的關(guān)系．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)正方形邊長相等和等腰直角三角形中腰長為斜邊長的

2

2

求解；
（2）觀察圖形，分別求得每個(gè)正方形的邊長，從而發(fā)現(xiàn)規(guī)律，根據(jù)其規(guī)律解題即可．

解答：解：下一個(gè)正方形面積為上一個(gè)正方形面積的

1

2

，下一個(gè)等腰直角三角形面積為上一個(gè)等腰直角三角形面積的

1

2

，
（1）S₁=1×1+

1

2

×

2

2

×

2

2

=

5

4

，
∴S₂=

1

2

+

1

2

×

1

2

×

2

2

×

2

2

=

5

8

，
S₃=

5

16

，
S₄=

5

32

．

（2）根據(jù)（1）的求解，總結(jié)規(guī)律：S_n=

1

2

S_n-1，
可以發(fā)現(xiàn)：
第一個(gè)正方形的邊長為1，
第2個(gè)正方形的邊長為（

2

2

）¹=

2

2

，
第3個(gè)正方形的邊長為（

2

2

）²=

1

2

，
…，
第n個(gè)正方形的邊長為（

2

2

）^（n-1）
∴第n個(gè)正方形的面積=[（

2

2

）²]^n-1=

1

2n-1

，
則第n個(gè)等腰直角三角形的面積為：

1

2n-1

×

1

4

=

1

2n+1

，
故S_n與n的關(guān)系為：S_n=

1

2n+1

+

1

2n-1

．

點(diǎn)評：本題考查了正方形的性質(zhì)和等腰直角三角形的性質(zhì)及正方形的面積公式求解．找到第n個(gè)正方形的邊長為（

2

2

）^n-1是解題的關(guān)鍵．