Question

如圖，在△ABC中，∠C＝90°，BC＝3，AB＝5．點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā)，以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度沿B→C→A→B的方向運(yùn)動(dòng)；點(diǎn)Q從點(diǎn)C出發(fā)，以每秒2個(gè)單位沿C→A→B方向的運(yùn)動(dòng)，到達(dá)點(diǎn)B后立即原速返回，若P、Q兩點(diǎn)同時(shí)運(yùn)動(dòng)，相遇后同時(shí)停止，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為ι秒．

(1)當(dāng)ι＝________時(shí)，點(diǎn)P與點(diǎn)Q相遇；

(2)在點(diǎn)P從點(diǎn)B到點(diǎn)C的運(yùn)動(dòng)過程中，當(dāng)ι為何值時(shí)，△PCQ為等腰三角形？

(3)在點(diǎn)Q從點(diǎn)B返回點(diǎn)A的運(yùn)動(dòng)過程中，設(shè)△PCQ的面積為s平方單位．

①求s與ι之間的函數(shù)關(guān)系式；

②當(dāng)s最大時(shí)，過點(diǎn)P作直線交AB于點(diǎn)D，將△ABC中沿直線PD折疊，使點(diǎn)A落在直線PC上，求折疊后的△APD與△PCQ重疊部分的面積．

Answer 1

答案：
解析：

解答：解：(1)在直角△ABC中，AC＝＝4， 　　則Q從C到B經(jīng)過的路程是9，需要的時(shí)間是4.5秒．此時(shí)P運(yùn)動(dòng)的路程是4.5，P和Q之間的距離是：3＋4＋5－4.5＝7.5． 　　根據(jù)題意得：(t－4.5)＋2(t－4.5)＝7.5，解得：t＝7． 　　(2)Q從C到A的時(shí)間是3秒，P從A到C的時(shí)間是3秒． 　　則當(dāng)0≤t≤2時(shí)，若△PCQ為等腰三角形，則一定有：PC＝CQ，即3－t＝2t，解得：t＝1． 　　當(dāng)2＜t≤3時(shí)，若△PCQ為等腰三角形，則一定有PQ＝PC(圖1)．則Q在PC的中垂線上，作QH⊥AC，則QH＝PC．△AQH∽△ABC， 　　在直角△AQH中，AQ＝2t－4，則QH＝AQ＝． 　　∵PC＝BC－BP＝3－t， 　　∴×(2t－4)＝3－t， 　　解得：t＝； 　　(3)在點(diǎn)Q從點(diǎn)B返回點(diǎn)A的運(yùn)動(dòng)過程中，P一定在AC上，則PC＝t－3，BQ＝2t－9，即AQ＝5－(2t－9)＝14－2t． 　　同(2)可得：△PCQ中，PC邊上的高是：(14－2t)， 　　故s＝(2t－9)×(14－2t)＝(－t2＋10t－2)． 　　故當(dāng)t＝5時(shí)，s有最大值，此時(shí)，P在AC的中點(diǎn)．(圖2)． 　　∵沿直線PD折疊，使點(diǎn)A落在直線PC上， 　　∴PD一定是AC的中垂線． 　　則AP＝AC＝2，PD＝BC＝， 　　則S△APD＝AP·PD＝×2×＝． 　　AQ＝14－2t＝14－2×5＝4． 　　則PC邊上的高是：AQ＝×4＝． 　　則S△PCQ＝PC·＝×2×＝． 　　故答案是：7． 　　點(diǎn)評(píng)：本題是相似三角形的性質(zhì)，勾股定理、以及方程的綜合應(yīng)用，正確進(jìn)行分類討論是關(guān)鍵．

提示：

分析：(1)首先利用勾股定理求得AC的長(zhǎng)度，點(diǎn)P與點(diǎn)Q相遇一定是在P由B到A的過程中，利用方程即可求得； 　　(2)分Q從C到A的時(shí)間是3秒，P從A到C的時(shí)間是3秒，則可以分當(dāng)0≤t≤2時(shí)，若△PCQ為等腰三角形，則一定有：PC＝CQ，和當(dāng)2＜t≤3時(shí)，若△PCQ為等腰三角形，則一定有PQ＝PC兩種情況進(jìn)行討論求得t的值； 　　(3)在點(diǎn)Q從點(diǎn)B返回點(diǎn)A的運(yùn)動(dòng)過程中，P一定在AC上，則PC的長(zhǎng)度是t－3，然后利用相似三角形的性質(zhì)即可利用t表示出s的值，然后利用二次函數(shù)的性質(zhì)即可求得t的值，從而求解．