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【題目】如圖,拋物線y=x2+bx+cx軸交于點AB(3,0),與y軸交于點C(0,3).

(1)求拋物線的解析式;

(2)若點M是拋物線上在x軸下方的動點,過MMNy軸交直線BC于點N,求線段MN的最大值;

(3)E是拋物線對稱軸上一點,F是拋物線上一點,是否存在以A,B,E,F為頂點的四邊形是平行四邊形?若存在,請直接寫出點F的坐標;若不存在,請說明理由.

【答案】(1)y=x2﹣4x+3;(2);(3)存在.點F的坐標為(2,﹣1)或(0,3)或(4,3).

【解析】

(1)由點B、C的坐標利用待定系數法即可求出拋物線的解析式;
(2)設出點M的坐標以及直線BC的解析式,由點B、C的坐標利用待定系數法即可求出直線BC的解析式,結合點M的坐標即可得出點N的坐標,由此即可得出線段MN的長度關于m的函數關系式,再結合點Mx軸下方可找出m的取值范圍,利用二次函數的性質即可解決最值問題;
(3)討論:當以AB為對角線,利用EA=EB和四邊形AFBE為平行四邊形得到四邊形AFBE為菱形,則點F也在對稱軸上,即F點為拋物線的頂點,所以F點坐標為(-1,-4);當以AB為邊時,根據平行四邊形的性質得到EF=AB=4,則可確定F的橫坐標,然后代入拋物線解析式得到F點的縱坐標.

解:(1)將點B(3,0)、C(0,3)代入拋物線y=x2+bx+c中,

得: ,

解得

故拋物線的解析式為y=x2﹣4x+3.

(2)設點M的坐標為(m,m2﹣4m+3),設直線BC的解析式為y=kx+3,

把點B(3,0)代入y=kx+3中,

得:0=3k+3,解得:k=﹣1,

∴直線BC的解析式為y=﹣x+3.

MNy軸,

∴點N的坐標為(m,﹣m+3).

∵拋物線的解析式為y=x2﹣4x+3=(x﹣2)2﹣1,

∴拋物線的對稱軸為x=2,

∴點(1,0)在拋物線的圖象上,

1<m<3.

∵線段MN=﹣m+3﹣(m2﹣4m+3)=﹣m2+3m=﹣(m﹣2+

∴當m=時,線段MN取最大值,最大值為

(3)存在.點F的坐標為(2,﹣1)或(0,3)或(4,3).

當以AB為對角線,如圖1,

∵四邊形AFBE為平行四邊形,EA=EB,

∴四邊形AFBE為菱形,

∴點F也在對稱軸上,即F點為拋物線的頂點,

F點坐標為(2,﹣1);

當以AB為邊時,如圖2,

∵四邊形AFBE為平行四邊形,

EF=AB=2,即F2E=2,F1E=2,

F1的橫坐標為0,F2的橫坐標為4,

對于y=x2﹣4x+3,

x=0時,y=3;

x=4時,y=16﹣16+3=3,

F點坐標為(0,3)或(4,3).

綜上所述,F點坐標為(2,﹣1)或(0,3)或(4,3).

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銷售單價x(元)

3.5

5.5

銷售量y(袋)

280

120

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