Question

【題目】如圖，已知AD是△ABC的外角∠EAC的平分線，交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)D，延長(zhǎng)DA交△ABC的外接圓于點(diǎn)F，連接FB、FC．

（1）求證：FB=FC；

（2）求證：FB2=FAFD；

Answer 1

【答案】（1）證明見解析（2）證明見解析

【解析】試題分析：（1）根據(jù)角平分線的性質(zhì)，得兩角相等，然后根據(jù)園內(nèi)接四邊形得到四邊形的一個(gè)外角等于不相鄰的一個(gè)內(nèi)角，得到兩個(gè)角相等，根據(jù)同弧所對(duì)的圓周角相等和對(duì)頂角相等，得到∠FBC=∠ACB，進(jìn)而根據(jù)等角對(duì)等邊得證；

（2）根據(jù)兩個(gè)三角形對(duì)應(yīng)角相等，得到兩三角形相似，根據(jù)相似三角形的對(duì)應(yīng)邊相等得到對(duì)應(yīng)邊成比例，從而得到乘積式得證.

試題解析：（Ⅰ）∵AD平分∠EAC，

∴∠EAD=∠DAC．

∵四邊形AFBC內(nèi)接于圓，

∴∠DAC=∠FBC．

∵∠EAD=∠FAB=∠FCB，

∴∠FBC=∠FCB，

∴FB=FC．

（Ⅱ）∵∠FAB=∠FCB=∠FBC，∠AFB=∠BFD，

∴△FBA∽△FDB

∴，

∴FB2=FAFD．