Question

如圖1，AB為⊙O的直徑，點P是直徑AB上任意一點，過點P作弦CD⊥AB，垂足為P，過點B的直線與線段AD的延長線交于點F，且∠F=∠ABC．

（1）若CD=2，BP=4，求⊙O的半徑；

（2）求證：直線BF是⊙O的切線；

（3）當點P與點O重合時，過點A作⊙O的切線交線段BC的延長線于點E，在其它條件不變的情況下，判斷四邊形AEBF是什么特殊的四邊形？請在圖2中補全圖象并證明你的結論．

Answer 1

：  （1）解：CD⊥AB，

∴PC=PD=CD=，

連接OC，設⊙O的半徑為r，則PO=PB﹣r=4﹣r，

在RT△POC中，OC²=OP²+PC²，

即r²=（4﹣r）²+（）²，解得r=．

（2）證明：∵∠A=∠C，∠F=∠ABC，

∴△PBC∽△BFA，

∴∠ABF=∠CPB，

∵CD⊥AB，

∴∠ABF=∠CPB=90°，

∴直線BF是⊙O的切線；

（3）四邊形AEBF是平行四邊形；

理由：解：如圖2所示：∵CD⊥AB，垂足為P，

∴當點P與點O重合時，CD=AB，

∴OC=OD，

∵AE是⊙O的切線，

∴BA⊥AE，

∵CD⊥AB，

∴DC∥AE，

∵AO=OB，

∴OC是△ABE的中位線，

∴AE=2OC，

∵∠D=∠ABC，∠F=∠ABC．

∴∠D=∠F，

∴CD∥BF，

∵AE∥BF，

∵OA=OB，

∴OD是△ABF的中位線，

∴BF=2OD，

∴AE=BF，

∴四邊形AEBF是平行四邊形．