Question

如圖，⊙O是Rt△ABC的外接圓，∠ABC＝90°，點P是圓外一點，PA切⊙O于點A，且PA＝PB．

(1)求證：PB是⊙O的切線；

(2)已知PA＝，BC＝1，求⊙O的半徑．

Answer 1

答案：
解析：

(1)證明：連接OB． 　　∵OA＝OB，∴∠OAB＝∠OBA． 　　∵PA＝PB，∴∠PAB＝∠PBA． 　　∴∠OAB＋∠PAB＝∠OBA＋∠PBA， 　　即∠PAO＝∠PBO　　2分 　　又∵PA是⊙O的切線，∴∠PAO＝90°， 　　∴∠PBO＝90°，∴OB⊥PB　　4分 　　又∵OB是⊙O半徑， 　　∴PB是⊙O的切線　　5分 　　說明：還可連接OB、OP，利用△OAP≌△OBP來證明OB⊥PB． 　　(2)解：連接OP，交AB于點D． 　　∵PA＝PB，∴點P在線段AB的垂直平分線上． 　　∵OA＝OB，∴點O在線段AB的垂直平分線上． 　　∴OP垂直平分線段AB　　7分 　　∴∠PAO＝∠PDA＝90°． 　　又∵∠APO＝∠DPA，∴△APO∽△DPA． 　　 　　說明：求半徑時，還可證明△PAO∽△ABC或在Rt△OAP中利用勾股定理．