Question

如圖，O為正方形ABCD的對角線BD的中點，BE平分∠DBC，交DC于點E，延長BC到點F，使CF=CE，交BE的延長線于點G，連接OG，
（1）求證：△BCE≌△DCF；
（2）證明：OG=OB；
（3）在圖中找出一對相似三角形，并證明（不添輔助線）

Answer 1

（1）證明：在△BCE和△DCF中，
，
∴△BCE≌△DCF（SAS）；

（2）證明：∵BE平分∠DBC，OD是正方形ABCD的對角線，
∴∠EBC=∠DBC=22.5°，
由（1）知△BCE≌△DCF，
∴∠EBC=∠FDC=22.5°（全等三角形的對應角相等）；
∴∠BGD=∠90（三角形內角和定理），
∴∠BGF=90°；
在△DBG和△FBG中，
，
∴△DBG≌△FBG（ASA），
∴BD=BF，DG=FG（全等三角形的對應邊相等），
∴點G是DF的中點；
又∵O為正方形ABCD的對角線BD的中點，
∴OG是△DBF的中位線，
∴OG=BF=BD；
∵OB=BD，
∴OB=OG；

（3）解：△BGF∽△DCF．理由如下：
在Rt△BGF和Rt△DCF中，
，
∴Rt△BGF∽Rt△DCF．
分析：（1）利用正方形的性質，由全等三角形的判定定理SAS即可證得△BCE≌△DCF；
（2）通過△DBG≌△FBG的對應邊相等知BD=BF；然后由三角形中位線定理證得OG=BF；最后由正方形的對角線互相平分、等量代換即可證得結論；
（3）△BGF∽△DCF．
點評：本題考查三角形全等的判定方法和全等三角形的性質，判定兩個三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA．注意：AAA、SSA不能判定兩個三角形全等，判定兩個三角形全等時，必須有邊的參與，若有兩邊一角對應相等時，角必須是兩邊的夾角．