Question

如圖，點P在雙曲線（k．＞0）第一象限內(nèi)的分支上運動，以P為圓心的圓保持與y軸相切于點A，與雙曲線交于點B，點B在點P上方．
（1）當點P的橫坐標為2時，⊙P與y軸的切點A（0，），試求雙曲線的解析式；
（2）切點A是否有可能與坐標原點O重合？
（3）在（1）的條件下，是否存在點P，使得△ABP為正三角形？若存在，請求出此時點P的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）點P的橫坐標為2時，⊙P與y軸的切點A（0，），可得點P的坐標為：（2，），然后由待定系數(shù)法即可求得雙曲線的解析式；
（2）利用反證法，若切點A與坐標原點O重合，可得即點P在x軸上，又由反比例函數(shù)與x軸不相交，可得切點A不能與坐標原點O重合；
（3）設(shè)點P的坐標為：（a，），由△ABP為正三角形，可求得點B的坐標為：（a，a+），又由點B在雙曲線y=上，即可得方程a×（a+）=2，解此方程即可求得a的值，繼而求得答案．
解答：解：（1）∵點P的橫坐標為2時，⊙P與y軸的切點A（0，），
∴點P的坐標為：（2，），
∴=，
∴k=2，
∴雙曲線y=的解析式為：y=；

（2）切點A不能與坐標原點O重合．
理由：若切點A與坐標原點O重合，
則點P的縱坐標為0，
即點P在x軸上，
∵反比例函數(shù)與x軸不相交，
∴點P不能在x軸上，
∴切點A不能與坐標原點O重合；

（3）存在．
理由：設(shè)點P的坐標為：（a，），
則AP=a，
過點B作BC⊥AP于點C，
∵△ABP為正三角形，
∴AC=AP=a，∠BAP=60°，
在Rt△BAC中，BC=AC•cos∠BAP=a×=a，
∴點B的坐標為：（a，a+），
∵點B在雙曲線y=上，
∴a×（a+）=2，
解得：a²=4，
∴a=±2．
∵點P在第一象限，
∴a=2，
∴點P的坐標為：（2，）．
點評：此題考查了待定系數(shù)法求反比例函數(shù)的解析式、切線的性質(zhì)、正三角形的性質(zhì)以及點與反比例函數(shù)的性質(zhì)．此題難度較大，注意掌握方程思想與數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．