Question

【題目】如圖,拋物線y=ax2+bx+c的頂點(diǎn)為M（﹣2,﹣4），與x軸交于A、B兩點(diǎn),且A（﹣6,0），與y軸交于點(diǎn)C．

（1）求拋物線的函數(shù)解析式；

（2）求△ABC的面積；

（3）能否在拋物線第三象限的圖象上找到一點(diǎn)P,使△APC的面積最大？若能,請(qǐng)求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不能，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】（1）y=x2+x﹣3；（2）12；（3）當(dāng)x=﹣3時(shí)，S△APC有最大值，此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)是P（﹣3，﹣）．

【解析】試題分析：（1）根據(jù)頂點(diǎn)坐標(biāo)公式即可求得a、b、c的值，即可解題；（2）易求得點(diǎn)B、C的坐標(biāo)，即可求得OC的長(zhǎng)，即可求得△ABC的面積，即可解題；（3）作PE⊥x軸于點(diǎn)E，交AC于點(diǎn)F，可將△APC的面積轉(zhuǎn)化為△AFP和△CFP的面積之和，而這兩個(gè)三角形有共同的底PF，這一個(gè)底上的高的和又恰好是A、C兩點(diǎn)間的距離，因此若設(shè)設(shè)E（x，0），則可用x來(lái)表示△APC的面積，得到關(guān)于x的一個(gè)二次函數(shù)，求得該二次函數(shù)最大值，即可解題．

試題解析：（1）設(shè)此函數(shù)的解析式為y=a（x+h）2+k，

∵函數(shù)圖象頂點(diǎn)為M（﹣2，﹣4），

∴y=a（x+2）2﹣4，

又∵函數(shù)圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（﹣6，0），

∴0=a（﹣6+2）2﹣4解得a=，

∴此函數(shù)的解析式為y=（x+2）2﹣4，

即y=x2+x﹣3；

（2）∵點(diǎn)C是函數(shù)y=x2+x﹣3的圖象與y軸的交點(diǎn)，

∴點(diǎn)C的坐標(biāo)是（0，﹣3），

又當(dāng)y=0時(shí)，有y=x2+x﹣3=0，

解得x1=﹣6，x2=2，

∴點(diǎn)B的坐標(biāo)是（2，0），

則S△ABC=|AB||OC|=×8×3=12；

（3）假設(shè)存在這樣的點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作PE⊥x軸于點(diǎn)E，交AC于點(diǎn)F．

設(shè)E（x，0），則P（x， x2+x﹣3），

設(shè)直線AC的解析式為y=kx+b，

∵直線AC過(guò)點(diǎn)A（﹣6，0），C（0，﹣3），

∴，解得，

∴直線AC的解析式為y=﹣x﹣3，

∴點(diǎn)F的坐標(biāo)為Fx，﹣ x﹣3），

則|PF|=﹣x﹣3﹣（x2+x﹣3）=﹣x2﹣x，

∴S△APC=S△APF+S△CPF=|PF||AE|+|PF||OE|

=|PF||OA|=（﹣x2﹣x）×6=﹣x2﹣x=﹣（x+3）2+，

∴當(dāng)x=﹣3時(shí)，S△APC有最大值，此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)是P（﹣3，﹣）．