Question

【題目】如圖，已知二次函數(shù)y=﹣x2+bx+c的圖象交x軸于點(diǎn)A（﹣4，0）和點(diǎn)B，交y軸于點(diǎn)C（0，4）．

（1）求這個二次函數(shù)的表達(dá)式；

（2）在拋物線的對稱軸上是否存在一點(diǎn)P，使得的值最大？若存在，求出P點(diǎn)坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.

（3）在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，是否存在點(diǎn)Q，使A，B，C，Q四點(diǎn)構(gòu)成平行四邊形？若存在，直接寫出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】（1）二次函數(shù)的表達(dá)式為y=﹣x2﹣3x+4；

（2）存在，P（）

（3）存在點(diǎn)Q，使A，B，C，Q四點(diǎn)構(gòu)成平行四邊形，滿足條件的點(diǎn)D的坐標(biāo)為D（﹣5，4）或（5，4）或（﹣3，﹣4）．

【解析】試題分析：（1）由A、C兩點(diǎn)坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法可求得拋物線解析式；

（2）由A、B關(guān)于對稱軸對稱，則可知PA=PB，則當(dāng)P、B、C三點(diǎn)在一條線上時滿足|PA-PC|最大，利用待定系數(shù)法可求得直線BC解析式，則可求得P點(diǎn)坐標(biāo)；

（3）分AB為邊和AB為對稱線兩種情況，當(dāng)AB為邊時，利用平行四邊形的性質(zhì)可得到CQ=AB，可得到關(guān)于D點(diǎn)的方程，可求得D點(diǎn)坐標(biāo)，當(dāng)AB為對角線時，則AB的中點(diǎn)也為CQ的中點(diǎn)，則可求得Q點(diǎn)坐標(biāo)．

試題解析：（1）∵二次函數(shù)y=﹣x2+bx+c的圖象交x軸于點(diǎn)A（﹣4，0）和點(diǎn)B，交y軸于點(diǎn)C（0，4）．

∴，

解得，

∴二次函數(shù)的表達(dá)式為y=﹣x2﹣3x+4，

（2）存在.

∵y=x23x+4，

∴對稱軸為x=，

∵A(4,0)，

∴B(1,0)，

∵P在對稱軸上，

∴PA=PB，

∴|PAPC|=|PBPC|BC，即當(dāng)P、B.C三點(diǎn)在一條線上時|PAPC|的值最大，

設(shè)直線BC解析式為y=kx+b，

∴，

∴直線BC解析式為y=4x+4，

令x=可得y=4×()+4=10，

∴存在滿足條件的點(diǎn)P,其坐標(biāo)為(,10)；

（3）存在點(diǎn)Q，使A，B，C，Q四點(diǎn)構(gòu)成平行四邊形，

理由：①以AB為邊時,則有CQ∥AB，即點(diǎn)Q的縱坐標(biāo)為4，

∵CQ=AB=5,且C(0,4)，

∴Q(5,4)或(5,4)，

②以AB為對角線時，CQ必過線段AB中點(diǎn)，且被AB平分，即：AB的中點(diǎn)也是CQ的中點(diǎn)，

∵A、B中點(diǎn)坐標(biāo)為(,0),且C(0,4)，

∴Q點(diǎn)橫坐標(biāo)=2×()0=3，Q點(diǎn)縱坐標(biāo)=04=4，

∴Q(3,4)，

綜合可知存在滿足條件的點(diǎn)D,坐標(biāo)為(5,4)或(5,4)或(3,4).