Question

（2004•內(nèi)江）如圖，已知拋物線(xiàn)y=ax²+bx+c與x軸交于A(yíng)（k，0）（k＜0）、B（3，0）兩點(diǎn)，與y軸正半軸交于C點(diǎn)，且tan∠CAO=3．
（1）求此拋物線(xiàn)的解析式（系數(shù)中可含字母k）；
（2）設(shè)點(diǎn)D（0，t）在x軸下方，點(diǎn)E在拋物線(xiàn)上，若四邊形ADEC為平行四邊形，試求t與k的函數(shù)關(guān)系式；
（3）若題（2）中的平行四邊形ADEC為矩形，試求出D的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據(jù)A的坐標(biāo)，可得出OA的長(zhǎng)，根據(jù)∠CAO的正切值可求出OC的長(zhǎng)，也就能求出C點(diǎn)的坐標(biāo)．然后根據(jù)A、B、C三點(diǎn)的坐標(biāo)，用待定系數(shù)法求出拋物線(xiàn)的解析式；
（2）要想使四邊形ADEC為平行四邊形，AC與DE必須平行且相等．根據(jù)∠CAO的正切值可得出直線(xiàn)AC的斜率．也就得出了直線(xiàn)DE的斜率，聯(lián)立直線(xiàn)DE和拋物線(xiàn)的解析式求出E點(diǎn)的坐標(biāo)．由于A(yíng)C=DE，可用E點(diǎn)的坐標(biāo)求出DE的長(zhǎng)，進(jìn)而得出t，k的函數(shù)關(guān)系式；
（3）由于四邊形ADEC為矩形，那么AD⊥AC，即直線(xiàn)AC與直線(xiàn)AD的斜率的積為-1．由此可得出t與k的函數(shù)關(guān)系式．聯(lián)立（2）的關(guān)系式即可得出關(guān)于t，k的方程．可求出此時(shí)t，k的值．
解答：解：（1）∵tan∠CAO=3，A（k，0）
（k＜0），又C點(diǎn)在y軸正半軸上
∴C（0，-3k）
∵A（k，o），B（3，0），C（0，-3k）都在拋物線(xiàn)上
∴
∴解得：
∴拋物線(xiàn)為：y=-x²+（k+3）x-3k；

（2）∵DE∥AC，tan∠CAO=3
∴直線(xiàn)DE的斜率為：3，又過(guò)點(diǎn)D（0，t）
∴直線(xiàn)DE為：y=3x+t
∴聯(lián)解．
可得交點(diǎn)為E（，+t）
又∵要使ADEC為平行四邊形
∴DE=AC
∴（）²+（+t）²=（k）²
∵k＜0
∴t=-2k²-3k（k＜0）；

（3）∵要使平行四邊形ADEC為矩形
∴∠ADE=90°．
∴k_AC•k_AD=-1．
即：3×=-1，
∴k=3t．
又∵t=-2k²-3k
∴由．
得t=-或t=0（舍）
∴D點(diǎn)的坐標(biāo)為（0，-）．
點(diǎn)評(píng)：本題著重考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式、解直角三角形、平行四邊形的判定、矩形的判定和性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，（2）、（3）中利用好一次函數(shù)平行和垂直時(shí)斜率的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．要牢記一次函數(shù)的斜率公式：k=．