Question

在一平直河岸l同側(cè)有A，B兩個(gè)村莊，A，B到l的距離分別是3km和2km，AB=akm（a＞1）．現(xiàn)計(jì)劃在河岸l上建一抽水站P，用輸水管向兩個(gè)村莊供水．
方案設(shè)計(jì)：
某班數(shù)學(xué)興趣小組設(shè)計(jì)了兩種鋪設(shè)管道方案：圖1是方案一的示意圖，設(shè)該方案中管道長(zhǎng)度為d₁，且d₁=PB+BA（km）（其中BP⊥l于點(diǎn)p）；圖2是方案二的示意圖，設(shè)該方案中管道長(zhǎng)度為d₂，且d₂=PA+PB（km）（其中點(diǎn)A'與點(diǎn)A關(guān)于I對(duì)稱，A′B與l交于點(diǎn)P．

觀察計(jì)算：
（1）在方案一中，d₁=

 

km（用含a的式子表示）；
（2）在方案二中，組長(zhǎng)小宇為了計(jì)算d₂的長(zhǎng)，作了如圖3所示的輔助線，請(qǐng)你按小宇同學(xué)的思路計(jì)算，
d₂=

 

km（用含a的式子表示）．
探索歸納
（1）①當(dāng)a=4時(shí)，比較大�。篸₁（

 

）d₂（填“＞”、“=”或“＜”）；
②當(dāng)a=6時(shí)，比較大�。篸₁（

 

）d₂（填“＞”、“=”或“＜”）；
（2）請(qǐng)你參考右邊方框中的方法指導(dǎo)，就a（當(dāng)a＞1時(shí)）的所有取值情況進(jìn)行分析，要使鋪設(shè)的管道長(zhǎng)度較短，應(yīng)選擇方案一還是方案二？

Answer 1

分析：運(yùn)用勾股定理和軸對(duì)稱求出d₂，根據(jù)方法指導(dǎo)，先求d₁²-d₂²，再根據(jù)差進(jìn)行分類討論選取合理方案．

解答：解：（1）∵A和A'關(guān)于直線l對(duì)稱，

∴PA=PA'，
d₁=PB+BA=PB+PA'=a+2；
故答案為：a+2；

（2）因?yàn)锽K²=a²-1，
A'B²=BK²+A'K²=a²-1+5²=a²+24
所以d₂=

a2+24

．
探索歸納：
（1）①當(dāng)a=4時(shí)，d₁=6，d₂=

40

，d₁＜d₂；
②當(dāng)a=6時(shí)，d₁=8，d₂=

60

，d₁＞d₂；
（2）d12-d22=(a+2)2-(

a2+24

)2=4a-20．
①當(dāng)4a-20＞0，即a＞5時(shí)，d₁²-d₂²＞0，
∴d₁-d₂＞0，
∴d₁＞d₂；
②當(dāng)4a-20=0，即a=5時(shí)，d₁²-d₂²=0，
∴d₁-d₂=0，
∴d₁=d₂
③當(dāng)4a-20＜0，即a＜5時(shí)，d₁²-d₂²＜0，
∴d₁-d₂＜0，
∴d₁＜d₂
綜上可知：當(dāng)a＞5時(shí)，選方案二；
當(dāng)a=5時(shí)，選方案一或方案二；
當(dāng)1＜a＜5（缺a＞1不扣分）時(shí)，選方案一．

點(diǎn)評(píng)：本題為方案設(shè)計(jì)題，綜合考查了學(xué)生的作圖能力，運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題的能力，以及觀察探究和分類討論的數(shù)學(xué)思想方法．