Question

如圖，在正方形ABCD中，E是AB邊上任意一點(diǎn)，∠ECF=45°，CF交AD于點(diǎn)F，將△CBE繞點(diǎn)C順時針旋轉(zhuǎn)到△CDP，點(diǎn)P恰好在AD的延長線上．
（1）求證：EF=PF；
（2）直線EF與以C為圓心，CD為半徑的圓相切嗎？為什么？

Answer 1

【答案】分析：（1）根據(jù)已知判定△ECF≌△PCF，從而得到EF=PF．
（2）過點(diǎn)C作CQ⊥EF于點(diǎn)Q，由（1）得，△ECF≌△PCF又CQ⊥EF，CD⊥FP，從而得到直線EF與以C為圓心，CD為半徑的圓相切．（根據(jù)切線的判定定理）
解答：（1）證明：在正方形ABCD中，∠BCD=90°，
依題意△CDP是△CBE繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)90°得到，
∴∠ECP=90°，CE=CP．
∵∠ECF=45°，
∴∠FCP=∠ECP-∠ECF=90°-45°=45°．
∴∠ECF=∠FCP，CF=CF．
∴△ECF≌△PCF．
∴EF=PF．

（2）解：相切．理由如下：
過點(diǎn)C作CQ⊥EF于點(diǎn)Q，
由（1）得，△ECF≌△PCF．
∴∠EFC=∠PFC．
∵CQ⊥EF，CD⊥FP，
∴CQ=CD．
∴直線EF與以C為圓心，CD為半徑的圓相切．
點(diǎn)評：本題考查旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，以及切線的判定性質(zhì)的綜合運(yùn)用．