Question

將邊長(zhǎng)OA=8，OC=10的矩形OABC放在平面直角坐標(biāo)系中，頂點(diǎn)O為原點(diǎn)，頂點(diǎn)C、A分別在x軸和y軸上．在OA、OC邊上選取適當(dāng)?shù)狞c(diǎn)E、F，連接EF，將△EOF沿EF折疊，使點(diǎn)O落在AB邊上的點(diǎn)D處．

（1）如圖1，當(dāng)點(diǎn)F與點(diǎn)C重合時(shí)，OE的長(zhǎng)度為

 

；
（2）如圖2，當(dāng)點(diǎn)F與點(diǎn)C不重合時(shí)，過(guò)點(diǎn)D作DG∥y軸交EF于點(diǎn)T，交OC于點(diǎn)G．求證：EO=DT；
（3）在（2）的條件下，設(shè)T（x，y），寫出y與x之間的函數(shù)關(guān)系式為

 

，自變量x的取值范圍是

 

；
（4）如圖3，將矩形OABC變?yōu)槠叫兴倪呅危�放在平面直角坐�?biāo)系中，且OC=10，OC邊上的高等于8，點(diǎn)F與點(diǎn)C不重合，過(guò)點(diǎn)D作DG∥y軸交EF于點(diǎn)T，交OC于點(diǎn)G，求出這時(shí)T（x，y）的坐標(biāo)y與x之間的函數(shù)關(guān)系式（不求自變量x的取值范圍）．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)折疊的性質(zhì)可得出DE=OE，OC=CD．
如果設(shè)出E點(diǎn)的坐標(biāo)，可用E的縱坐標(biāo)表示出AE、ED的長(zhǎng)．
可根據(jù)相似三角形ADE和CDB得出的關(guān)于AE，BC，AD，BD的比例關(guān)系式求出E點(diǎn)的縱坐標(biāo)．也就求出了E的坐標(biāo)和OE的長(zhǎng)．
（2）本題可通過(guò)證DT=OE來(lái)求出，如果連接OD，那么EF必垂直平分OD，如果設(shè)OD與EF的交點(diǎn)為P，那么OP=DP，△OEP≌△DPT，可得DT=OE；
（3）可先根據(jù)T的坐標(biāo)表示出AD，AE，然后可在直角三角形ADE中表示出DE．而DE又可用AO-AE表示．可以此來(lái)求出y，x的函數(shù)關(guān)系式．
在（1）中給出的情況就是x的最小值的狀況，可根據(jù)AD的長(zhǎng)求出x的最小值，當(dāng)x取最大值時(shí)，EF平分∠OAB，即E′與A重合，四邊形EOGD為正方形，可據(jù)此求出此時(shí)x的值．有了x的最大和最小取值即可求出x的取值范圍．
（4）的結(jié)論和（3）完全相同，求法也幾乎完全一樣．

解答：（1）5．
解：根據(jù)題意，運(yùn)用勾股定理得BD=6，AD=4．
設(shè)OE=x，則DE=x，AE=8-x．
在Rt△ADE中，x²=（8-x）²+4²，
解得x=5．即OE=5．

（2）證明：如圖1，∵△EDF是由△EFO折疊得到的，
∴∠1=∠2．
又∵DG∥y軸，∠1=∠3．
∴∠2=∠3．
∴DE=DT．
∵DE=EO，
∴EO=DT．

（3）y=-

1

16

x²+4．
4＜x≤8．

（4）解：如圖2，連接OT，
由折疊性質(zhì)可得OT=DT．
∵DG=8，TG=y，
∴OT=DT=8-y．
∵DG∥y軸，
∴DG⊥x軸．
在Rt△OTG中，∵OT²=OG²+TG²，
∴（8-y）²=x²+y²．
∴y=-

1

16

x²+4．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了矩形和平行四邊形的性質(zhì)，三角形相似和全等，圖形的翻折變換，二次函數(shù)的應(yīng)用等知識(shí)點(diǎn)．主要考查學(xué)生數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法．