Question

拋物線y＝x²－2x－3與x軸交于A，B兩點(A點在B點的左側(cè))．

(1)拋物線上有一個動點P，求當點P在拋物線上滑動到什么位置時，△PAB的面積為10，并求出此時點P的坐標；

(2)拋物線交y軸于點C．在該拋物線的對稱軸上是否存在點Q，使得△QAC的周長最��？若存在，求出點Q的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

答案：
解析：

(1)令x2－2x－3＝0，解得x1＝－1，x2＝3，∴A(－1，0)，B(3，0)．∵△PAB的面積為10，∴點P的縱坐標為±5．當點P的縱坐標為5時，x2－2x－3＝5，解得x1＝－2，x2＝4，此時P(－2，5)或P(4，5)．當點P的縱坐標為－5時，x2－2x－3＝－5，△＝4－8＝－4＜0，方程無實數(shù)根．∴點P的坐標為P(－2，5)或P(4，5)． 　　(2)由題知C(0，－3)，對稱軸為x＝1，直線BC的解析式為y＝x－3，當x＝1時，y＝－2，此時，△QAC的周長最小，點Q的坐標為(1，－2)．

提示：

有機結(jié)合拋物線與對應(yīng)二次方程，求出交點，再由面積得縱坐標求橫縱坐標．充分利用拋物線的對稱性，要使△QAC的周長最小，也就是AC＋QC＋QA＝AC＋QC＋QB最小．直線BC與拋物線對稱軸的交點即為我們所求的點Q．