Question

（2013•吉林）如圖，在△ABC中，AB=BC．以AB為直徑作圓⊙O交AC于點D，點E為⊙O上一點，連接ED并延長與BC的延長線交于點F．連接AE、BE，∠BAE=60°，∠F=15°，解答下列問題．
（1）求證：直線FB是⊙O的切線；
（2）若BE=

3

cm，則AC=

2

2

cm．

Answer 1

分析：（1）欲證明直線FB是⊙O的切線，只需證明AB⊥FB；
（2）通過解直角△AEB求得AB的長度；然后在等腰直角△ABC中，根據(jù)勾股定理來求斜邊AC的長度即可．

解答：（1）證明：∵AB是⊙O的直徑，
∴∠AEB=90°．
∵∠BAE=60°，
∴∠ABE=30°，
∴∠ADE=∠ABE=30°，
∴∠FDC=∠ADE=30°．
∵∠F=15°，
∴∠ACB=∠F+∠FDC=45°．
又∵在△ABC中，AB=BC，
∴∠ACB=∠CAB=45°，
∴∠ABC=90°，即AB⊥FB．
又∵AB是直徑，
∴直線FB是⊙O的切線；

（2）解：∵在直角△AEB中，BE=

3

cm，∠BAE=60°，
∴AB=

BE

sin60°

=

3

3 2

=2（cm）．
∴在△ABC中，∠ABC=90°，AB=BC，AB=2cm，則AC=

2

AB=2

2

cm．
故答案是：2

2

．

點評：本題考查了切線的判定、解直角三角形．要證某線是圓的切線，已知此線過圓上某點，連接圓心與這點（即為半徑），再證垂直即可．