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(2013•鎮(zhèn)江)【閱讀】
如圖1,在平面直角坐標(biāo)系xOy中,已知點(diǎn)A(a,0)(a>0),B(2,3),C(0,3).過(guò)原點(diǎn)O作直線l,使它經(jīng)過(guò)第一、三象限,直線l與y軸的正半軸所成角設(shè)為θ,將四邊形OABC的直角∠OCB沿直線l折疊,點(diǎn)C落在點(diǎn)D處,我們把這個(gè)操作過(guò)程記為FZ[θ,a].
【理解】
若點(diǎn)D與點(diǎn)A重合,則這個(gè)操作過(guò)程為FZ[
45°
45°
,
3
3
];
【嘗試】
(1)若點(diǎn)D恰為AB的中點(diǎn)(如圖2),求θ;
(2)經(jīng)過(guò)FZ[45°,a]操作,點(diǎn)B落在點(diǎn)E處,若點(diǎn)E在四邊形0ABC的邊AB上,求出a的值;若點(diǎn)E落在四邊形0ABC的外部,直接寫(xiě)出a的取值范圍;
【探究】
經(jīng)過(guò)FZ[θ,a]操作后,作直線CD交x軸于點(diǎn)G,交直線AB于點(diǎn)H,使得△ODG與△GAH是一對(duì)相似的等腰三角形,直接寫(xiě)出FZ[θ,a].
分析:【理解】
由折疊性質(zhì)可以直接得出.
【嘗試】
(1)如答圖1所示,若點(diǎn)D恰為AB的中點(diǎn),連接CD并延長(zhǎng)交x軸于點(diǎn)F.證明△BCD≌△AFD,進(jìn)而得到△OCD為等邊三角形,則θ=30°;
(2)如答圖2所示,若點(diǎn)E在四邊形0ABC的邊AB上,則△ADE為等腰直角三角形,由此求出a=OA=OD+OA=5;由答圖2進(jìn)一步得到,當(dāng)0<a<5時(shí),點(diǎn)E落在四邊形0ABC的外部.
【探究】
滿足條件的圖形有兩種,如答圖3、答圖4所示,
解答:解:【理解】
若點(diǎn)D與點(diǎn)A重合,由折疊性質(zhì)可知,OA=OC=3,θ=
1
2
∠AOC=45°,
∴FZ[45°,3].

【嘗試】
(1)如答圖1所示,連接CD并延長(zhǎng),交x軸于點(diǎn)F.

在△BCD與△AFD中,
∠BDC=∠ADF
BD=AD
∠CBD=∠FAD

∴△BCD≌△AFD(ASA).
∴CD=FD,即點(diǎn)D為Rt△COF斜邊CF的中點(diǎn),
∴OD=
1
2
CF=CD.
又由折疊可知,OD=OC,
∴OD=OC=CD,
∴△OCD為等邊三角形,∠COD=60°,
∴θ=
1
2
∠COD=30°;
(2)經(jīng)過(guò)FZ[45°,a]操作,點(diǎn)B落在點(diǎn)E處,則點(diǎn)D落在x軸上,AB⊥直線l,
如答圖2所示:

若點(diǎn)E在四邊形0ABC的邊AB上,
由折疊可知,OD=OC=3,DE=BC=2.
∵AB⊥直線l,θ=45°,
∴△ADE為等腰直角三角形,
∴AD=DE=2,
∴OA=OD+AD=3+2=5,
∴a=5;
由答圖2可知,當(dāng)0<a<5時(shí),點(diǎn)E落在四邊形0ABC的外部.

【探究】
FZ[30°,2+
3
],F(xiàn)Z[60°,2+3
3
].
如答圖3、答圖4所示.
點(diǎn)評(píng):本題是幾何變換綜合題型,考查了翻折(折疊)變換、全等三角形、相似三角形、等邊三角形、等腰直角三角形、勾股定理等知識(shí)點(diǎn),有一定的難度.解題關(guān)鍵是正確理解題目給出的變換的定義,并能正確運(yùn)用折疊的性質(zhì).第(3)問(wèn)中,有兩種情形符合條件,需要分別計(jì)算,避免漏解.
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