Question

【題目】如圖，拋物線與x軸相交于A、B兩點(diǎn)，與y軸的交于點(diǎn)C，其中A點(diǎn)的坐標(biāo)為（﹣3，0），點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，﹣3），對稱軸為直線x＝﹣1．

（1）求拋物線的解析式；

（2）若點(diǎn)P在拋物線上，且S△POC＝4S△BOC，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；

（3）設(shè)點(diǎn)Q是線段AC上的動點(diǎn)，作QD⊥x軸交拋物線于點(diǎn)D，求線段QD長度的最大值．

Answer 1

【答案】（1）y＝x2+2x﹣3；（2）點(diǎn)P的坐標(biāo)為（4，21）或（﹣4，5）；（3）．

【解析】

（1）先根據(jù)點(diǎn)A坐標(biāo)及對稱軸得出點(diǎn)B坐標(biāo)，再利用待定系數(shù)法求解可得；

（2）利用（1）得到的解析式，可設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（a，a2+2a﹣3），則點(diǎn)P到OC的距離為|a|．然后依據(jù)S△POC＝4S△BOC列出關(guān)于a的方程，從而可求得a的值，于是可求得點(diǎn)P的坐標(biāo)；

（3）先求得直線AC的解析式，設(shè)點(diǎn)D的坐標(biāo)為（x，x2+2x﹣3），則點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（x，﹣x﹣3），然后可得到QD與x的函數(shù)的關(guān)系，最后利用配方法求得QD的最大值即可．

解：（1）∵拋物線與x軸的交點(diǎn)A（﹣3，0），對稱軸為直線x＝﹣1，

∴拋物線與x軸的交點(diǎn)B的坐標(biāo)為（1，0），

設(shè)拋物線解析式為y＝a（x+3）（x﹣1），

將點(diǎn)C（0，﹣3）代入，得：﹣3a＝﹣3，

解得a＝1，

則拋物線解析式為y＝（x+3）（x﹣1）＝x2+2x﹣3；

（2）設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（a，a2+2a﹣3），則點(diǎn)P到OC的距離為|a|．

∵S△POC＝4S△BOC，

∴OC|a|＝4×OCOB，即×3×|a|＝4××3×1，解得a＝±4．

當(dāng)a＝4時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（4，21）；

當(dāng)a＝﹣4時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（﹣4，5）．

∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（4，21）或（﹣4，5）．

（3）如圖所示：

設(shè)AC的解析式為y＝kx﹣3，將點(diǎn)A的坐標(biāo)代入得：﹣3k﹣3＝0，解得k＝﹣1，

∴直線AC的解析式為y＝﹣x﹣3．

設(shè)點(diǎn)D的坐標(biāo)為（x，x2+2x﹣3），則點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（x，﹣x﹣3）．

∴QD＝﹣x﹣3﹣（ x2+2x﹣3）＝﹣x﹣3﹣x2﹣2x+3＝﹣x2﹣3x＝﹣（x2+3x+﹣）＝﹣（x+）2+，

∴當(dāng)x＝﹣時(shí)，QD有最大值，QD的最大值為．