Question

如圖，點C在以AB為直徑的⊙O上，點D在AB的延長線上，∠BCD=∠A．
（1）求證：CD為⊙O的切線；
（2）若CD=4，⊙O的半徑為3，求BD的值．

Answer 1

（1）證明：連接OC，
∵OB=OC，
∴∠OBC=∠OCB，
∵AB是直徑，
∴∠ACB=90°，
∴∠A+∠ABC=90°，
又∵∠BCD=∠A，
∴∠OCB+∠BCD=90°，
∴∠OCD=90°，即OC⊥CD
又∵點C在⊙O上，
∴CD是⊙O的切線．

（2）解：∵∠BCD=∠A，∠D=∠D，
∴△BCD∽△CAD，
∴，即CD²=AD•BD
又∵CD=4，AO=OB=3，
∴16=（BD+6）BD，
解得：BD=2．
分析：（1）連接OC，根據等腰三角形的性質求出∠OCB=∠OBC，根據AB是直徑得出∠ABC=90°，求出∠A+∠ABC=90°，代入求出∠OCB+∠BCD=90°，根據切線的判定推出即可；
（2）證△DCB∽△DAC，得出CD²=BD×DA，代入即可求出BD．
點評：本題考查了切線的判定，圓周角定理，相似三角形的性質和判定，等腰三角形的性質等知識點，主要考查學生綜合運用性質進行推理的能力，題目比較典型，難度適中．