Question

已知二次函數(shù)y=x²-（2m-1）x+m²-m（m是常數(shù)，且m≠0）．
（1）證明：不論m取何值時(shí)，該二次函數(shù)圖象總與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)；
（2）設(shè)與x軸兩個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為x₁，x₂（其中x₁＞x₂），若y是關(guān)于m的函數(shù)，且y=1-

x2

x1

，結(jié)合函數(shù)的圖象回答：當(dāng)自變量m的取值滿足什么條件時(shí)，y≤2．

Answer 1

分析：（1）由拋物線與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)可知△＞0，根據(jù)△=b²-4ac即可得到關(guān)于m的不等式，判斷出△的取值范圍即可；
（2）令y=0，解關(guān)于x的一元二次方程x²-（2m-1）x+m²-m=0，求出方程的兩實(shí)數(shù)根，把兩實(shí)數(shù)根代入函數(shù)y=1-

x2

x1

即可得到關(guān)于m，y的函數(shù)，畫(huà)出此函數(shù)及y=2的圖象，根據(jù)兩函數(shù)圖象的交點(diǎn)即可得出結(jié)論．

解答：解：（1）由題意有△=[-（2m-1）]²-4（m²-m）=1＞0．
∴不論m取何值時(shí)，該二次函數(shù)圖象總與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)．-------（2分）

（2）令y=0，解關(guān)于x的一元二次方程x²-（2m-1）x+m²-m=0，
得 x=m或x=m-1．
∵x₁＞x₂，
∴x₁=m，x₂=m-1．
∴y=1-

x2

x1

=1-

m-1

m

=

1

m

．
畫(huà)出y=

1

m

與y=2的圖象．如圖，
由圖象可得，當(dāng)m≥

1

2

或m＜0時(shí)，y≤2．-------（7分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查的是拋物線與x軸的交點(diǎn)，根的判別式，解答此題的關(guān)鍵是利用數(shù)形結(jié)合的思想畫(huà)出函數(shù)圖象，再根據(jù)函數(shù)圖象直接解答．