Question

如圖，矩形ABCD中，AB=5，AD=3．點E是CD上的動點，以AE為直徑的⊙O與AB交于點F，過點F作FG⊥BE于點G．
（1）當E是CD的中點時：
①tan∠EAB的值為______；
②證明：FG是⊙O的切線；
（2）試探究：BE能否與⊙O相切？若能，求出此時DE的長；若不能，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）①在Rt△ADE中，已知了DE、AD的長，可求出∠DEA的正切值．由于∠DEA和∠EAB是兩條平行線的內(nèi)錯角，因此它們的正切值相等，由此得解；
②連接OF，證OF⊥FG即可．由于O、F分別是AE、AB的中點，因此OF是△ABE的中位線，即OF∥BE，由于FG⊥BE，可證得OF⊥FG，即可得出所證的結(jié)論；
（2）先假設(shè)BE能與⊙O相切，則AE⊥BE，即∠AEB=90°．易證得△ADE∽△ECB，可得：AD：DE=EC：CB；設(shè)DE的長為x，然后用x表示出CE的長，代入上面的比例關(guān)系中，可得出一個關(guān)于x的一元二次方程，若BE能與⊙O相切，那么方程的解即為DE的長；若方程無解，則說明BE不可能與⊙O相切．
解答：解：（1）①過E作EH⊥AB于點H，則EF=AD=3，AF=DE=AB=，
故tan∠EAB===；

②法一：在矩形ABCD中，AD=BC，∠ADE=∠BCE，
又CE=DE，
∴△ADE≌△BCE，
得AE=BE，∠EAB=∠EBA．
連接OF，則OF=OA，
∴∠OAF=∠OFA，∠OFA=∠EBA．
∴OF∥EB．
∵FG⊥BE，
∴FG⊥OF，
∴FG是⊙O的切線．
（法二：提示：連EF，DF，證四邊形DFBE是平行四邊形．）
（2）法一：假設(shè)BE能與⊙O相切．
∵AE是⊙O的直徑，
∴AE⊥BE，則∠DEA+∠BEC=90°．
又∠EBC+∠BEC=90°，
∴∠DEA=∠EBC，
∴Rt△ADE∽Rt△CEB，
∴．
設(shè)DE=x，則EC=5-x，AD=BC=3，
得，
整理得x²-5x+9=0．
∵b²-4ac=25-36=-11＜0，
∴該方程無實數(shù)根，
∴點E不存在，BE不能與⊙O相切．
法二：若BE能與⊙O相切，因AE是⊙O的直徑，則AE⊥BE，∠AEB=90°．
設(shè)DE=x，則EC=5-x．
由勾股定理得：AE²+EB²=AB²，
即（9+x²）+[（5-x）²+9]=25，
整理得x²-5x+9=0，
∵b²-4ac=25-36=-11＜0，
∴該方程無實數(shù)根，
∴點E不存在，BE不能與⊙O相切．
（法三：本題可以通過判斷以AB為直徑的圓與DC是否有交點來求解）
點評：本題主要考查了圓周角定理、矩形的性質(zhì)、相似三角形的判定和性質(zhì)、解直角三角形的應用等知識．涉及的知識點較多，難度較大．