Question

如圖，AB是⊙O的弦，AB=6，點(diǎn)C是⊙O上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且∠ACB=45°．若點(diǎn)M，N分別是AB，BC的中點(diǎn)，則MN長(zhǎng)的最大值是　　　　　　．

　

　

Answer 1

　3　．

【考點(diǎn)】三角形中位線定理；等腰直角三角形；圓周角定理．

【專題】壓軸題．

【分析】根據(jù)中位線定理得到MN的最大時(shí)，AC最大，當(dāng)AC最大時(shí)是直徑，從而求得直徑后就可以求得最大值．

【解答】解：∵點(diǎn)M，N分別是AB，BC的中點(diǎn)，

∴MN=AC，

∴當(dāng)AC取得最大值時(shí)，MN就取得最大值，

當(dāng)AC時(shí)直徑時(shí)，最大，

如圖，

∵∠ACB=∠D=45°，AB=6，

∴AD=6，

∴MN=AD=3

故答案為：3．

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了三角形的中位線定理、等腰直角三角形的性質(zhì)及圓周角定理，解題的關(guān)鍵是了解當(dāng)什么時(shí)候MN的值最大，難度不大．