Question

【題目】如圖，拋物線y=-x2+mx+n與x軸交于A,B兩點，y與軸交于點C，拋物線的對稱軸交x軸于點D。已知A(-1,0),C(0,3)

求拋物線的解析式；

在拋物線的對稱軸上是否存在P點，使⊿PCD是以CD為腰的等腰三角形，如果存在，直接寫出點P的坐標，如果不存在，請說明理由；

點E是線段BC上的一個動點，過點E作x軸的垂線與拋物線相交于點F，

①求直線BC 的解析式

②當點E運動到什么位置時，四邊形CDBF的面積最大？求四邊形CDBF的最大面積及此時點E的坐標

Answer 1

【答案】（1）y=﹣x2+x+2；（2）P1（，4），P2（， ），P3（，﹣）；（3）①y=﹣x+2．②S四邊形CDBF的面積最大=；E（2，1）

【解析】試題分析：（1）由待定系數(shù)法建立二元一次方程組求出m、n的值即可；

（2）如圖1中，分兩種情形討論①當PD=DC時，當CP=CD時，分別寫出點P坐標即可．

（3）先求出BC的解析式，設(shè)出點E的橫坐標為a，由四邊形CDBF的面積=S△BCD+S△CEF+S△BEF求出S與a的關(guān)系式，由二次函數(shù)的性質(zhì)就可以求出結(jié)論．

試題解析：（1）∵拋物線y=-x2+mx+n經(jīng)過A（-1，0），C（0，2）．

解得： ，

∴拋物線的解析式為：y=-x2+x+2；

（2）如圖1，

∵y=-x2+x+2，

∴y=-（x-）2+，

∴拋物線的對稱軸是直線x=．

∴OD=．

∵C（0，3），

∴OC=23

在Rt△OCD中，由勾股定理，得CD=．

∵△CDP是以CD為腰的等腰三角形，

∴CP1=DP2=DP3．

作CH⊥x軸于H，

∴HP1=HD=2，

∴DP1=4．

∴P1（，4），P2（， ），P3（，-）；

（3）當y=0時，0=-x2+x+2

∴x1=-1，x2=4，

∴B（4，0）．

設(shè)直線BC的解析式為y=kx+b，由圖象，得，

解得： ，

∴直線BC的解析式為：y=-x+2．

如圖2，

過點C作CM⊥EF于M，設(shè)E（a，-a+2），F(xiàn)（a，-a2+a+2），

∴EF=-a2+a+2-（-a+2）=-a2+2a（0≤x≤4）．

∵S四邊形CDBF=S△BCD+S△CEF+S△BEF=BDOC+EFCM+EFBN，

=××2+a（-a2+2a）+（4-a）（-a2+2a），

=-a2+4a+（0≤x≤4）．

=-（a-2）2+

∴a=2時，S四邊形CDBF的面積最大=，

∴E（2，1）．