Question

如圖，已知點(diǎn)A從（1，0）出發(fā)，以1個(gè)單位長(zhǎng)度/秒的速度沿x軸向正方向運(yùn)動(dòng)，以O(shè)、A為頂點(diǎn)在x軸的上方作菱形OABC，且∠AOC=60°；同時(shí)點(diǎn)G從點(diǎn)D（8，0）出發(fā)，以2個(gè)單位長(zhǎng)度/秒的速度沿x軸向負(fù)方向運(yùn)動(dòng)，以D、G為頂點(diǎn)在x軸的上方作正方形DEFG．設(shè)點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)了t秒．求：
（1）點(diǎn)B的坐標(biāo)（用含t的代數(shù)式表示）
（2）當(dāng)點(diǎn)A在運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，當(dāng)t為何值時(shí)，點(diǎn)O、B、E在同一直線上；
（3）當(dāng)點(diǎn)A在運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，是否存在t，使得以點(diǎn)C、G、D為頂點(diǎn)的三角形為等腰三角形？若存在，求出t的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（1）作BH⊥x軸于H點(diǎn)，根據(jù)OA=AB=t，表示出BH和AH的長(zhǎng)即可求得B點(diǎn)的坐標(biāo)；
（2）求得線段OB所在直線的解析式后將用t表示的E點(diǎn)的坐標(biāo)代入就可以求得三點(diǎn)共線的時(shí)間t；
（3）用t表示出C、G點(diǎn)的坐標(biāo)分①若CG=CD，則CG²=CD²、②若GC=GD，則GC²=GD²、③若DC=DG，則DC²=DG²三種情況求得存在的時(shí)間t．

解答：解：（1）作BH⊥x軸于H點(diǎn)，
∵OA=AB=1+t，∠AOC=∠BAH=60°
∴AH=

1+t

2

，BH=

3

2

（t+1），
∴OH=t+1+

t+1

2

=

3t+3

2

，
∴B（

3t+3

2

，

3

2

（t+1））（2分）

（2）將點(diǎn)B（

3t+3

2

，

3

2

（t+1））代入直線OB的解析式y(tǒng)=kx，
解得直線的解析式為y=

3

3

x，
∵點(diǎn)E的坐標(biāo)為（8，2t），且O、B、E三點(diǎn)共線，
∴∠BOD=30°
∴2t=

3

3

×8
解得：t=

4

3

3

（3分）

（3）過(guò)C作CM⊥x軸，交x軸于M，連接CG，
∵C（

1+t

2

，

3 + 3t

2

），G（8-2t，0），D（8，0），
∴MG=OG-OM=8-2t-

1+t

2

，CM=

3 + 3 t

2

，
在直角三角形CMG中，CG²=MG²+CM²，
∴CG2=(

15-5t

2

)2+

3

4

(1+t)2，
CD2=(

15-t

2

)2+

3

4

(1+t)2，GD²=4t²
假設(shè)存在滿足條件的t，則
①若CG=CD，則CG²=CD²，
∴(

15-5t

2

)2+

3

4

(1+t)2=(

15-t

2

)2+

3

4

(1+t)2t₁=0（舍去）t₂=5
②若GC=GD，則GC²=GD²
∴(

15-5t

2

)2+

3

4

(1+t)2=4t²，t1=6+

17

，t2=6-

17

，
③若DC=DG，則DC²=DG²
∴(

15-t

2

)2+

3

4

(1+t)2=4t²，t1=-1+2

5

，t2=-1-2

5

(舍去)（11分）（每種情況2分）
∴存在滿足條件的t值為：5，6+

17

，6-

17

，-1+2

5

（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查了相似三角形的判定及性質(zhì)、等腰三角形、勾股定理等知識(shí)，是一道綜合性較強(qiáng)的題目，特別是題目中涉及到的動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題，更是中考的一個(gè)高頻考點(diǎn)．