將正三角形ABC各邊三等分，設(shè)分點為D、E、F、G、H、I．求證：多邊形DEFGHI是正六邊形．

答案：
解析：

即證△ADI≌△BEF≌△CGH，六邊形DEFGHI的各內(nèi)角都等于120°，各邊相等．


練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：初中數(shù)學(xué) 來源： 題型：閱讀理解

（2012•青島模擬）同學(xué)們已經(jīng)認(rèn)識了很多正多邊形，現(xiàn)以正六邊形為例再介紹與正多邊形相關(guān)的幾個概念．如正六邊形ABCDEF各邊對稱軸的交點O，又稱正六邊形的中心，其中OA稱正六邊形的半徑，通常用R表示，∠AOB稱為中心角，顯然．提出問題：正多邊形內(nèi)任意一點到各邊距離之和與這個正多邊形的半徑R和中心角有什么關(guān)系？
探索發(fā)現(xiàn)：
（1）為了解決這個問題，我們不妨從最簡單的正多邊形--正三角形入手．
如圖①，△ABC是正三角形，半徑OA=R，∠AOB是中心角，P是△ABC內(nèi)任意一點，P到△ABC各邊距離分別為h1、h2、h3 ，確定h1+h2+h3的值與△ABC的半徑R及中心角的關(guān)系．
解：設(shè)△ABC的邊長是a，面積為S，顯然S=
1
2
a（h1+h2+h3）
O為△ABC的中心，連接OA、OB、OC，它們將△ABC分成三個全等的等腰三角形，過點O作OM⊥AB，垂足為M，Rt△AOM中，易知
OM=OAcos∠AOM=Rcos
1
2
∠AOB=Rcos
1
2
×120°=Rcos60°，
AM=OAsin∠AOM=Rsin
1
2
∠AOB=Rsin
1
2
×120°=Rcos60°
∴AB=a=2AM=2Rsin60°
∴S△AOB=
1
2
AB×OM=
1
2
×2Rsin60°•Rcos60°=R2sin60°cos60°
∴S△ABC=3S△AOB=3R2sin60°cos60°
∴
1
2
a（h1+h2+h3）=3R2sin60°cos60°
即：
1
2
×2Rsin60°（h1+h2+h3）=3R2sin60°cos60°
∴h1+h2+h3=3Rcos60°
（2）如圖②，五邊形ABCDE是正五邊形，半徑是R，P是正五邊形ABCDE內(nèi)任意一點，P到五邊形ABCDE各邊距離分別為h1、h2、h3、h4、h5，參照（1）的探索過程，確定h1+h2+h3+h4+h5的值與正五邊形ABCDE的半徑R及中心角的關(guān)系．
（3）類比上述探索過程，直接填寫結(jié)論
正六邊形（半徑是R）內(nèi)任意一點P到各邊距離之和 h1+h2+h3+h4+h5+h6=
6Rcos30°
6Rcos30°

正八邊形（半徑是R）內(nèi)任意一點P到各邊距離之和 h1+h2+h3+h4+h5+h6+h7+h8=
8Rcos22.5°
8Rcos22.5°

正n邊形（半徑是R）內(nèi)任意一點P到各邊距離之和  h1+h2+…+hn=
nRcos
180°
n
nRcos
180°
n
．

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科目：初中數(shù)學(xué) 來源：同步輕松練習(xí)　九年級　數(shù)學(xué)　上 題型：047

將正三角形ABC各邊三等分，設(shè)分點為D，E，F，G，H，I．求證DEFGHI是正六邊形．

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科目：初中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

同學(xué)們已經(jīng)認(rèn)識了很多正多邊形，現(xiàn)以正六邊形為例再介紹與正多邊形相關(guān)的幾個概念．如正六邊形ABCDEF各邊對稱軸的交點O，又稱正六邊形的中心，其中OA稱正六邊形的半徑，通常用R表示，∠AOB稱為中心角，顯然．提出問題：正多邊形內(nèi)任意一點到各邊距離之和與這個正多邊形的半徑R和中心角有什么關(guān)系？
探索發(fā)現(xiàn)：
（1）為了解決這個問題，我們不妨從最簡單的正多邊形--正三角形入手．
如圖①，△ABC是正三角形，半徑OA=R，∠AOB是中心角，P是△ABC內(nèi)任意一點，P到△ABC各邊距離分別為h1、h2、h3 ，確定h1+h2+h3的值與△ABC的半徑R及中心角的關(guān)系．
解：設(shè)△ABC的邊長是a，面積為S，顯然S=數(shù)學(xué)公式a（h1+h2+h3）
O為△ABC的中心，連接OA、OB、OC，它們將△ABC分成三個全等的等腰三角形，過點O作OM⊥AB，垂足為M，Rt△AOM中，易知
OM=OAcos∠AOM=Rcos數(shù)學(xué)公式∠AOB=Rcos數(shù)學(xué)公式×120°=Rcos60°，
AM=OAsin∠AOM=Rsin數(shù)學(xué)公式∠AOB=Rsin數(shù)學(xué)公式×120°=Rcos60°
∴AB=a=2AM=2Rsin60°
∴S△AOB=數(shù)學(xué)公式AB×OM=數(shù)學(xué)公式×2Rsin60°•Rcos60°=R2sin60°cos60°
∴S△ABC=3S△AOB=3R2sin60°cos60°
∴數(shù)學(xué)公式a（h1+h2+h3）=3R2sin60°cos60°
即：數(shù)學(xué)公式×2Rsin60°（h1+h2+h3）=3R2sin60°cos60°
∴h1+h2+h3=3Rcos60°
（2）如圖②，五邊形ABCDE是正五邊形，半徑是R，P是正五邊形ABCDE內(nèi)任意一點，P到五邊形ABCDE各邊距離分別為h1、h2、h3、h4、h5，參照（1）的探索過程，確定h1+h2+h3+h4+h5的值與正五邊形ABCDE的半徑R及中心角的關(guān)系．
（3）類比上述探索過程，直接填寫結(jié)論
正六邊形（半徑是R）內(nèi)任意一點P到各邊距離之和 h1+h2+h3+h4+h5+h6=________
正八邊形（半徑是R）內(nèi)任意一點P到各邊距離之和 h1+h2+h3+h4+h5+h6+h7+h8=________
正n邊形（半徑是R）內(nèi)任意一點P到各邊距離之和 h1+h2+…+hn=________．

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科目：初中數(shù)學(xué) 來源：2012年山東省青島市中考數(shù)學(xué)調(diào)研試卷（解析版） 題型：解答題

同學(xué)們已經(jīng)認(rèn)識了很多正多邊形，現(xiàn)以正六邊形為例再介紹與正多邊形相關(guān)的幾個概念．如正六邊形ABCDEF各邊對稱軸的交點O，又稱正六邊形的中心，其中OA稱正六邊形的半徑，通常用R表示，∠AOB稱為中心角，顯然．提出問題：正多邊形內(nèi)任意一點到各邊距離之和與這個正多邊形的半徑R和中心角有什么關(guān)系？
探索發(fā)現(xiàn)：
（1）為了解決這個問題，我們不妨從最簡單的正多邊形--正三角形入手．
如圖①，△ABC是正三角形，半徑OA=R，∠AOB是中心角，P是△ABC內(nèi)任意一點，P到△ABC各邊距離分別為h1、h2、h3 ，確定h1+h2+h3的值與△ABC的半徑R及中心角的關(guān)系．
解：設(shè)△ABC的邊長是a，面積為S，顯然S=a（h1+h2+h3）
O為△ABC的中心，連接OA、OB、OC，它們將△ABC分成三個全等的等腰三角形，過點O作OM⊥AB，垂足為M，Rt△AOM中，易知
OM=OAcos∠AOM=Rcos∠AOB=Rcos×120°=Rcos60°，
AM=OAsin∠AOM=Rsin∠AOB=Rsin×120°=Rcos60°
∴AB=a=2AM=2Rsin60°
∴S△AOB=AB×OM=×2Rsin60°•Rcos60°=R2sin60°cos60°
∴S△ABC=3S△AOB=3R2sin60°cos60°
∴a（h1+h2+h3）=3R2sin60°cos60°
即：×2Rsin60°（h1+h2+h3）=3R2sin60°cos60°
∴h1+h2+h3=3Rcos60°
（2）如圖②，五邊形ABCDE是正五邊形，半徑是R，P是正五邊形ABCDE內(nèi)任意一點，P到五邊形ABCDE各邊距離分別為h1、h2、h3、h4、h5，參照（1）的探索過程，確定h1+h2+h3+h4+h5的值與正五邊形ABCDE的半徑R及中心角的關(guān)系．
（3）類比上述探索過程，直接填寫結(jié)論
正六邊形（半徑是R）內(nèi)任意一點P到各邊距離之和 h1+h2+h3+h4+h5+h6=______
正八邊形（半徑是R）內(nèi)任意一點P到各邊距離之和 h1+h2+h3+h4+h5+h6+h7+h8=______
正n邊形（半徑是R）內(nèi)任意一點P到各邊距離之和  h1+h2+…+hn=______．

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