(2012•和平區(qū)一模)一塊三角形廢料如圖所示,∠A=30°,∠C=90°,AB=12.用這塊廢料剪出一個(gè)矩形CDEF,其中,點(diǎn)D、E、F分別在AC、AB、BC上.要使剪出的矩形CDEF面積最大,點(diǎn)E應(yīng)選在何處?
分析:首先在Rt△ABC中利用∠A=30°、AB=12,求得BC=6、AC的長(zhǎng),然后根據(jù)四邊形CDEF是矩形得到EF∥AC從而得到△BEF∽△BAC,設(shè)AE=x,則BE=12-x.利用相似三角形成比例表示出EF、DE,然后表示出有關(guān)x的二次函數(shù),然后求二次函數(shù)的最值即可.
解答:解:在Rt△ABC中,∠A=30°,AB=12,
∴BC=6,AC=AB•cos30°=12×
3
2
=6
3

∵四邊形CDEF是矩形,
∴EF∥AC.
∴△BEF∽△BAC.
EF
AC
=
BE
BA

設(shè)AE=x,則BE=12-x.
EF=
6
3
(12-x)
12
=
3
2
(12-x)

在Rt△ADE中,DE=
1
2
AE=
1
2
x
.                   
矩形CDEF的面積S=DE•EF=
1
2
x
3
2
(12-x)
=-
3
4
x2+3
3
x
(0<x<6).                
當(dāng)x=-
b
2a
=-
3
3
2×(-
3
4
)
=6
時(shí),S有最大值.
∴點(diǎn)E應(yīng)選在AB的中點(diǎn)處.
點(diǎn)評(píng):本題考查了相似三角形的應(yīng)用及二次函數(shù)的應(yīng)用,解題的關(guān)鍵是從幾何問(wèn)題中整理出二次函數(shù)模型,并利用二次函數(shù)的知識(shí)求最值.
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5
9
5
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