(2012•金山區(qū)一模)如圖,已知△ABC的邊BC長15厘米,高AH為10厘米,長方形DEFG內接于△ABC,點E、F在邊BC上,點D、G分別在邊AB、AC上.
(1)設DG=x,長方形DEFG的面積為y,試求y關于x的函數(shù)解析式,并寫出定義域;
(2)若長方形DEFG的面積為36,試求這時
ADAB
的值.
分析:(1)易證得△ADG∽△ABC,那么它們的對應邊和對應高的比相等,可據(jù)此求出AP的表達式,進而可求出PH即DE、GF的長,已知矩形的長和寬,即可根據(jù)矩形的面積公式得到y(tǒng)、x的函數(shù)關系式;
(2)根據(jù)(1)題所得函數(shù)的性質及自變量的取值范圍,即可求出這時
AD
AB
的值.
解答:(1)解:設AH與DG交于點P,
∵矩形DEFG,
∴DG∥BC,
∴△ADG∽△ABC,且AP⊥DG,
AP
AH
=
DG
BC

AP
10
=
x
15
,
AP=
2
3
x
,從而PH=10-
2
3
x

y=DG•DE=x(10-
2
3
x)=-
2
3
x2+10x
,
定義域為 0<x<15;
(2)由已知,y=-
2
3
x2+10x=36
,
解得x=6或x=9,
當x=6時,
AD
AB
=
DG
BC
=
2
5
;
當x=9時,
AD
AB
=
DG
BC
=
3
5
點評:此題主要考查了矩形的性質、相似三角形的判定和性質以及二次函數(shù)的應用等知識,能夠根據(jù)相似三角形求出矩形的寬是解答此題的關鍵.
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