Question

【題目】如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=4,CD⊥AB于D，P是線段CD上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，以P為直角頂點(diǎn)向下作等腰Rt△BPE,連結(jié)AE,DE.

(1)∠BAE的度數(shù)是否為定值？若是，求出∠BAE的度數(shù)；

(2)直接寫出DE的最小值。

Answer 1

【答案】（1）∠BAE=45°；（2）2

【解析】試題分析：

（1）由已知易得△ABC∽△EBP，∠ABC=∠EBP=45°，從而可得： ，∠CBP=∠ABE，由此可得：△CBP∽△ABE，

從而可得∠BAE=∠BCP；而在△ACB中，由AC=BC，∠BCA=90°，CD⊥AB于D易得∠BCP=45°，由此即可得到∠BAE=45°；

（2）由題意可知，點(diǎn)D是定點(diǎn)，點(diǎn)E是AE上的動(dòng)點(diǎn)，由此可知，當(dāng)DE⊥AE時(shí)，DE最短，此時(shí)，∠AED=90°，結(jié)合∠BAE=45°，可得△ADE此時(shí)是等腰直角三角形，由此即可求得此時(shí)DE的長(zhǎng)了.

試題解析：

（1）∠BAE的度數(shù)為定值，理由如下：

∵△ABC和△EBP均為等腰直角三角形

∴△ABC∽△EBP，且∠ABC=∠EBP=45°

∴ ，且∠CBP=∠ABE

∴△CBP∽△ABE

∴∠BCP =∠BAE

∵CA=CB，∠ACB=90°，CD⊥AB

∴∠BCP=45°

∴∠BAE=∠BCP=45°

（2）由題意可知，點(diǎn)D是定點(diǎn)，點(diǎn)E是AE上的動(dòng)點(diǎn)，

∴當(dāng)DE⊥AE時(shí)，DE最短，

此時(shí)，∠AED=90°，

又∵∠BAE=45°，

∴此時(shí)△ADE是等腰直角三角形，

∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=4，

∴AB=，

∵CD⊥AB于點(diǎn)D，

∴AD=,

∴DE=2，即DE的最小值為2.