Question

如圖，半圓的直徑AB=10，點(diǎn)C在半圓上，BC=6．
（1）求弦AC的長；
（2）把△BCE沿BE折疊，使點(diǎn)C與直徑AB上的P點(diǎn)重合，連結(jié)PC．求PE，PC的長．

Answer 1

分析：（1）由AB是半圓的直徑，得到∠ACB=90°，而AB=10，BC=6，根據(jù)勾股定理即可計(jì)算出AC；
（2）先根據(jù)軸對稱的性質(zhì)得出∠EPB=∠ACB=90°，PE=CE，BP=BC=6．設(shè)PE=x，則EC=x，AE=8-x，AP=4，再證明△APE∽△ACB，根據(jù)相似三角形的對應(yīng)邊成比例求出PE=3，再證明△PEF∽△BEP，根據(jù)相似三角形的對應(yīng)邊成比例求出PF=

12 5

5

．

解答：解：（1）∵AB是直徑，
∴∠ACB=90°，
由勾股定理得，AC=8；

（2）∵把△BCE沿BE折疊，點(diǎn)C與直徑AB上的P點(diǎn)重合，
∴△BCE≌△BPE，∠EPB=∠ACB=90°，PE=CE，BP=BC=6．
設(shè)PE=x，則EC=x，AE=8-x，AP=4．
∵在△APE與△ACB中，

∠A=∠A ∠APE=∠ACB=90°

，
∴△APE∽△ACB，
∴AP：AC=PE：CB，即4：8=x：6，
解得x=3，
∴PE=3，AE=5，BE=

BP2+PE2

=

62+32

=3

5

．
設(shè)PC與BE的交點(diǎn)為F．
∵P點(diǎn)C點(diǎn)關(guān)于BE對稱，
∴BE是線段PC的垂直平分線，即BE⊥CP，PC=2PF．
∵在△PEF與△BEP中，

∠PEF=∠BEP ∠PFE=∠BPE=90°

，
∴△PEF∽△BEP，
∴PF：BP=PE：BE，即PF：6=3：3

5

，
解得PF=

6 5

5

，
∴PC=2PF=

12 5

5

．
故PE=3，PC=

12 5

5

．

點(diǎn)評：本題考查了圓周角定理，勾股定理，軸對稱的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，難度適中，根據(jù)兩角對應(yīng)相等的兩三角形相似證明△APE∽△ACB及△PEF∽△BEP是解題的關(guān)鍵．