Question

如圖，在平面直角坐標系中，直線AB與x軸，y軸分別交于點A（6，0），B（0，8），點C的坐標為（0，m），過點C作CE⊥AB于點E，點D為x軸上一動點，連結CD，DE，以CD，DE為邊作□CDEF。

（1）當0< m <8時，求CE的長（用含m的代數式表示）；
（2）當m =3時，是否存在點D，使□CDEF的頂點F恰好落在y軸上？若存在，求出點D的坐標；若不存在，請說明理由；
（3）點D在整個運動過程中，若存在唯一的位置，使得□CDEF為矩形，請求出所有滿足條件的m的值。

Answer 1

（1）（2）存在（3）m的值為或0或或

解：（1）∵A（6，0），B（0，8），∴OA=6，OB=8�！郃B=10。
∵∠CEB=∠EBC=90⁰，∠OBA=∠EBC，∴△BCE∽△BAO。
∴，即�！�。
（2）存在。 
∵m =3，∴BC=8－m=5，。
∴根據勾股定理得BC=4。
∴AE=AB－BE=6。
∵點F落在y軸上（如圖1），

∴DE∥BO。
∴△EDA∽△BOA。∴，即。
解得：�！帱cD的坐標為（，0）。
（3）取CE的中點P，過點P作PG⊥y軸于點G，
則。
①當0< m <8時（如圖2），

易證∠GCP=∠BAO，
∴。
∴。
∴。
由題意，根據矩形對角線平分且相等的性質，得OG=CP，
∴，解得。
②當m≥8時，OG＞CP，不存在滿足條件的m的值。
③當m =0，即點C與點O重合時（如圖3），

滿足題意。
④當m＜0時，分兩種情況：
ⅰ）當點E與點A重合時（如圖4），

易證△COA∽△AOB，
∴，即。
解得。
ⅱ）當點E與點A重合時（如圖5），


，
由題意，得OG=CP，
∴。
解得。
綜上所述，m的值為或0或或。
（1）由△BCE∽△BAO即可用含m的代數式表示出CE的長。
（2）由△EDA∽△BOA即可求得，從而得到點D的坐標。
（3）分①0< m <8，②m≥8，③m =0，④m＜0四種情況討論。