Question

M為何整數(shù)時，9m²+5m+26能分解成兩個連續(xù)自然數(shù)之積．

Answer 1

分析：利用根的判別式確定p與q的方程，進(jìn)而得出所有的可能，注意不要漏解．

解答：解：設(shè)對某個自然數(shù)k≥0，有9m²+5m+26=k（k-1）將此式整理成關(guān)于m的一元二次方程，得9m²+5m-（k²-k-26）=0（1），
因為m為整數(shù)，k為自然數(shù)，故（1）的判別式△₁=25+36（k²-k-26）=36k²-36k-911，
必為完全平方數(shù)，再設(shè)36k²-36k-911=p²（p為自然數(shù)），則36k²-36k-（p²+911）=0（2），
為使方程（2）的根為自然數(shù)，須使（2）的判別式△₂=36²+4×36（p²+911）=12²（p²+920）為完全平方數(shù)，
又設(shè)p²+920=q²（q為自然數(shù)），則
（q+p）（q-p）=920（3），
因為q+p＞q-p＞0，q+p與q-p同奇偶，即它們均為偶數(shù)，
從而

q+p=460 q-p=2 ； q+p=230 q=p=2 ； q+p=92 q-p=10 ； q+p=46 q-p=20

解之得：

p=229 q=231

；

p=113 q=117

；

p=41 q=51

；

p=13 q=33

.
把p的值代入（2）求得k的值，再把k值代入（1）可求得m值，從而即得m=-1，2，6，-13．
即當(dāng)m=-1，2，6，-13時，9m²+5m+26能分解成兩個連續(xù)自然數(shù)之積．

點(diǎn)評：此題主要考查了一元二次方程根的判別式，以及完全平均數(shù)問題，綜合性較強(qiáng)．