Question

如圖，經(jīng)過原點(diǎn)的拋物線與軸的另一個(gè)交點(diǎn)為A．過點(diǎn)作直線軸于點(diǎn)M，交拋物線于點(diǎn)B，過點(diǎn)B作直線BC∥軸與拋物線交于點(diǎn)C（B、C不重合），連結(jié)CP．

（1）當(dāng)時(shí)，求點(diǎn)A的坐標(biāo)及BC的長；
（2）當(dāng)時(shí)，連結(jié)CA，問為何值時(shí)？
（3）過點(diǎn)P作且，問是否存在，使得點(diǎn)E落在坐標(biāo)軸上？若存在，求出所有滿足要求的的值，并求出相對(duì)應(yīng)的點(diǎn)E坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

（1）A(-4，0) ，BC="2" （2）m=2時(shí) （3）存在

試題分析：解：（1）當(dāng)m=2時(shí)，，
令y=0，得，∴
∴A(-4，0)   
當(dāng)x=-1時(shí)，y=3，∴B（-1，3）
∵拋物線的對(duì)稱軸為直線x=-2，
又∵B，C關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱，∴BC=2．  

（2）過點(diǎn)C作CH⊥x軸于點(diǎn)H（如圖），
由已知得∠ACP=∠BCH=90°，
∴∠ACH=∠PCB            
又∵∠AHC=∠PBC=90°，
∴△ACH∽△PCB，
∴．
∵拋物線的對(duì)稱軸為直線x=-m，其中m>1，
又∵B,C關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱，       
∴，
∵        
∴
又∵       
∴,
∴           
∴∴．
（3）∵B，C不重合，∴m≠1．（I）當(dāng)m＞1時(shí)，BC=2(m-1),PM=m,   BP=m-1.
(i)若點(diǎn)E在x軸上（如圖1），
∵∠CPE=90°，∴∠MPE＋∠BPC=∠MPE＋∠MEP=90°，
∴∠BPC=∠MEP．  又∵∠CPB=∠PME=90°，PC=EP
∴△BPC≌△MEP，∴BC=PM,     
∴2（m－1）=m，
∴m=2,此時(shí)點(diǎn)E的坐標(biāo)是（-2，0）．
（II）當(dāng)0＜m＜1時(shí)，BC=2（1－m），PM=m，   BP=1－m,
(i)若點(diǎn)E在x軸上， 易證△BPC≌△MEP，∴BC=PM，
∴2（1－m）=m,∴，此時(shí)點(diǎn)E的坐標(biāo)是．
（ii）若點(diǎn)E在y軸上，
過點(diǎn)P作PN⊥y軸于點(diǎn)N，易證△BPC≌△NPE，∴BP=NP=OM=1,
∴1－m=1，∴m=0（舍去）．
綜上所述，當(dāng)m=2時(shí)，點(diǎn)E的坐標(biāo)是（-2，0）或（0，4）；當(dāng)時(shí)，點(diǎn)E的坐標(biāo)是 ．
點(diǎn)評(píng)：難度系數(shù)較大，考生應(yīng)熟練掌握拋物線的基本性質(zhì)，包括對(duì)稱軸的公式，拋物線的頂點(diǎn)等，相似三角形的判定，全等三角形的判定等等，綜合知識(shí)，數(shù)形結(jié)合。