Question

如圖，已知AB是⊙O的直徑，AM切⊙O于點A，DO平分∠ADC，BC⊥DC，BC交⊙O于點E．
（1）求證：CD是⊙O的切線；
（2）若AD=3，DC=7，AB=10，求弦BE的長．

Answer 1

解：（1）過點O作OF⊥CD于點F，
∵AM切⊙O于點A，
∴OA⊥AM，
又∵DO平分∠ADC，
∴OF=OA（角平分線的性質），
綜上可得：OF⊥DC，且OF=R，
∴CD是⊙O的切線．

（2）連接AE，則∠AEB=90°（圓周角定理），
∵OF⊥CD，BC⊥CD，
∴OF∥BC，
∵BC⊥AE，
∴OF⊥AE，
∴AM=ME（垂徑定理），四邊形CEMF是矩形，
又∵CF=DC-DF=DC-AD=4，
∴CF=ME=4，
∴AE=AM+ME=2ME=8，
在Rt△ANE中，BE==6．
分析：（1）過點O作OE⊥CD于點F，根據角平分線的性質可得OF=OA=R，繼而可得出結論．
（2）連接AE，判斷出四邊形CEMF是矩形，求出CF，得出ME，利用垂徑定理得出AE，在Rt△ABE中利用勾股定理可求出BE．
點評：本題考查了圓的綜合，涉及了切線的判定與性質、垂徑定理、圓周角定理及勾股定理的知識，綜合考察的知識點較多，解答本題的關鍵是熟練掌握涉及圓的一些性質定理．