Question

閱讀下面材料：

小輝遇到這樣一個問題：如圖1，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，點(diǎn)D，E在邊BC上，∠DAE＝45°．若BD＝3，CE＝1，求DE的長．

小輝發(fā)現(xiàn)，將△ABD繞點(diǎn)A按逆時針方向旋轉(zhuǎn)90º，得到△ACF，連接EF（如圖2），由圖形旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)和等腰直角三角形的性質(zhì)以及∠DAE＝45°，可證△FAE≌△DAE，得FE＝DE．解△FCE，可求得FE（即DE）的長．

請回答：在圖2中，∠FCE的度數(shù)是 ，DE的長為 ．

參考小輝思考問題的方法，解決問題：

如圖3，在四邊形ABCD中，AB＝AD，∠B＋∠D＝180°．E，F(xiàn)分別是邊BC，CD上的點(diǎn)，且∠EAF＝∠BAD．猜想線段BE，EF，F(xiàn)D之間的數(shù)量關(guān)系并說明理由．

Answer 1

90°；；EF=BE＋FD

【解析】

試題分析：（1）根據(jù)旋轉(zhuǎn)圖形可得∠FCA=∠B=45°，則∠FCE=90°，CF=BD=3，CE=1，根據(jù)△FCE的勾股定理求出EF的長度，即ED=EF；（2）將圖形旋轉(zhuǎn)可得DG=BE，AE=AG，∠DAG＝∠BAE，∠B＝∠ADG，根據(jù)（1）的方法證明△AEF和△AGF全等，得到EF=FG，根據(jù)FG=DG+FD，說明EF=BE+FD.

試題解析：90°；．

猜想：EF=BE＋FD；

理由如下：如圖，將△ABE繞點(diǎn)A按逆時針方向旋轉(zhuǎn)，使AB與AD重合，得到△ADG，

∴BE＝DG，AE＝AG，∠DAG＝∠BAE，∠B＝∠ADG，∵∠B＋∠ADC＝180°，∠B＝∠ADG，

∴∠ADG＋∠ADC＝180°，即點(diǎn)F，D，G在同一條直線上．∵∠EAF＝∠BAD，

∴∠GAF＝∠DAG＋∠DAF＝∠BAE＋∠DAF＝∠BAD－∠EAF＝∠EAF，

即∠GAF＝∠EAF． 在△AEF和△AGF中，

∴△AEF≌△AGF， ∴EF＝FG． ∵FG＝DG＋FD＝BE＋DF， ∴EF＝BE＋FD．

考點(diǎn)：旋轉(zhuǎn)圖形的性質(zhì)、三角形全等的判定.