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已知:拋物線y=ax2+bx+c與y軸交于點C,與x軸交于點A(x1,0),b(x2,0)(x1<x2),頂點M的縱坐標(biāo)是-4.若x1,x2是方程x2-2(m-1)+m2-7=0的兩個實數(shù)根,且x12+x22=10.
(1)求A、B兩點的坐標(biāo);
(2)求拋物線的解析式;
(3)在拋物線上是否存在點P,使△PAB的面積等于四邊形ACMB的面積的2倍?若存在,求出所有合條件的點P的坐標(biāo);若不存在,請說明理由.
分析:(1)根據(jù)韋達(dá)定理可得出A、B兩點橫坐標(biāo)的和與積,聯(lián)立x12+x22=10,可求出m的值,進而可求出A、B的坐標(biāo).
(2)根據(jù)A、B的坐標(biāo),可得出拋物線的對稱軸的解析式,即可求出其頂點M的坐標(biāo),根據(jù)得出的A、B、M三點的坐標(biāo),即可用待定系數(shù)法求出拋物線的解析式.
(3)可先求出四邊形ACMB的面積(由于四邊形ACMB不規(guī)則,因此其面積可用分割法進行求解).然后根據(jù)ACMB的面求出P點的縱坐標(biāo)的絕對值,將其代入拋物線的解析式中即可求出P點的坐標(biāo).
解答:精英家教網(wǎng)解:(1)∵若x1,x2是方程x2-2(m-1)+m2-7=0的兩個實數(shù)根,
由題意得:x1+x2═-
b
a
=2(m-1),x1x2=
c
a
=m2-7.
∴x12+x22=(x1+x22-2x1x2=4(m-1)2-2(m2-7)=10,
化簡,得m2-4m+4=0,
解得m=2.
且當(dāng)m=2時,△=4-4×(-3)>0,符合題意.
∴原方程可寫成:x2-2x-3=0,
∵x1<x2
∴x1=-1,x2=3;
∴A(-1,0),B(3,0);

(2)已知:A(-1,0),B(3,0),
∴拋物線的對稱軸為x=1,
因此拋物線的頂點坐標(biāo)為(1,-4).
設(shè)拋物線的解析式為y=a(x+1)(x-3),則有:
-4=a(1+1)(1-3),a=1;
∴y=(x-3)(x+1)=x2-2x-3;

(3)S四邊形ACMB=S△AOC+S梯形OCMN+S△NBM=
1
2
OA•OC+
1
2
(OC+MN)•ON+
1
2
NB•MN,
=
1
2
×1×3+
1
2
×(3+4)×1+
1
2
×2×4=9.
假設(shè)存在P(x0,y0)使得S△PAB=2S四邊形ACMB=18,
即:
1
2
AB|y0|=18,
1
2
×4×|y0|=18,
∴y0=±9;
當(dāng)y0=9時,x2-2x-3=9,解得x=1-
13
,x=1+
13
;
當(dāng)y0=-9時,x2-2x-3=-9,此方程無實數(shù)根.
∴存在符合條件的P點,且坐標(biāo)為(1-
13
,9),(1+
13
,9).
點評:主要考查一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系,二次函數(shù)解析式的確定、圖形的面積求法等知識及綜合應(yīng)用知識、解決問題的能力.
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知:拋物線y=x2-(a+b)x+
c2
4
,其中a、b、c是△ABC的∠A、∠B、∠C的對邊.
(1)求證:拋物線與x軸必有兩個不同交點;
(2)設(shè)直線y=ax-bc與拋物線交于E、F兩點,與y軸交于點M,拋物線與y軸交于點N,若拋物線的對稱軸為x=a,△MNE與△MNF的面積比為5:1,求證:△ABC是等邊三角形;
(3)在(2)的條件下,設(shè)△ABC的面積為
3
,拋物線與x軸交于點P、Q,問是否精英家教網(wǎng)存在過P、Q兩點且與y軸相切的圓?若存在,求出圓的圓心坐標(biāo),若不存在,請說明理由.
闂傚倸鍊搁崐鎼佸磹閹间礁纾归柟闂寸绾惧綊鏌熼梻瀵割槮缁炬儳缍婇弻鐔兼⒒鐎靛壊妲紒鐐劤缂嶅﹪寮婚敐澶婄闁挎繂鎲涢幘缁樼厱闁靛牆鎳庨顓㈡煛鐏炲墽娲存鐐达耿閹崇娀顢楁径瀣撴粓姊绘担瑙勫仩闁告柨绉堕幑銏ゅ礃椤斿槈锕傛煕閺囥劌鐏犻柛鎰ㄥ亾婵$偑鍊栭崝锕€顭块埀顒傜磼椤旂厧顣崇紒杈ㄦ尰閹峰懘骞撻幒宥咁棜婵犵數濮伴崹鐓庘枖濞戙埄鏁勯柛鏇ㄥ幗瀹曟煡鏌涢埄鍐姇闁绘挸绻橀弻娑㈩敃閿濆洨鐣洪梺闈╃稻濡炰粙寮诲☉銏℃櫜闁告侗鍠涚涵鈧紓鍌欐祰妞村摜鏁敓鐘茬畺闁冲搫鎳忛ˉ鍫熺箾閹寸偛绗氶柣搴濆嵆濮婄粯鎷呴崨濠冨創闂佹椿鍓欓妶绋跨暦娴兼潙鍐€妞ゆ挾濮寸粊锕傛⒑绾懏褰х紒鐘冲灩缁鈽夐姀鈾€鎷婚梺鍓插亞閸犳捇鍩婇弴鐔翠簻闁哄倸鐏濋顓熸叏婵犲嫮甯涢柟宄版嚇瀹曘劍绻濋崒娑欑暭婵犵數鍎戠徊钘壝洪敃鈧—鍐╃鐎n偅娅滈梺缁樺姈濞兼瑧娆㈤悙鐑樼厵闂侇叏绠戦崝锕傛煥閺囩偛鈧綊鎮¢弴銏$厸闁搞儯鍎辨俊濂告煟韫囨洖校濞e洤锕、鏇㈡晲韫囨埃鍋撻崸妤佺厸閻忕偛澧藉ú鎾煃閵夘垳鐣垫鐐差儏閳规垿宕堕埡鈧竟鏇犵磽閸屾艾鈧绮堟笟鈧、鏍川椤栨稑搴婇梺鍦濠㈡﹢鎮″鈧弻鐔告綇妤e啯顎嶉梺绋匡功閸忔﹢寮婚妶鍥ф瀳闁告鍋涢~顐︽⒑閸涘﹥鐓ラ柟璇х磿閹广垹鈽夊锝呬壕婵炴垶鐟$紓姘舵煟椤撴粌鈧洟婀佸┑鐘诧工缁ㄨ偐鑺辩紒妯镐簻闁哄浂浜炵粙鑽ょ磼缂佹ḿ绠撴い顐g箞椤㈡﹢鎮㈤崜韫埛闂傚倸鍊烽懗鍓佸垝椤栨稓浠氶梺璇茬箰缁绘垿鎮烽埡浣烘殾闁规壆澧楅崐鐑芥煟閹寸們姘跺箯濞差亝鐓熼幖绮瑰墲鐠愨€斥攽椤旂偓鏆┑鈩冩尦瀹曟﹢鍩¢埀顒傛崲閸℃稒鐓熼柟閭﹀幗缂嶆垶绻涢幖顓炴灍妞ゃ劊鍎甸幃娆忣啅椤旂厧澹夋俊鐐€ф俊鍥ㄦ櫠濡ゅ懎绠氶柡鍐ㄧ墛閺呮煡鏌涢妷鈺婃閹兼潙锕濠氬磼濞嗘帒鍘$紓渚囧櫘閸ㄨ泛鐣峰┑瀣櫇闁稿本姘ㄩˇ顓炩攽閻愬弶顥為柟绋挎憸缁牊寰勯幇顓犲帾闂佸壊鍋呯换鍐夐幘瓒佺懓饪伴崟顓犵厑闂侀潧娲ょ€氫即鐛Ο鍏煎磯闁烩晜甯囬崹浠嬪蓟濞戞鐔兼惞鐟欏嫭鍠栨俊鐐€戦崝濠囧磿閻㈢ǹ绠栨繛鍡樻尭缁犵敻鏌熼悜妯诲鞍妞ゆ柨瀚板娲礈瑜忕敮娑㈡煟濡ゅ啫鈻堢€殿喛顕ч埥澶娢熼柨瀣垫綌闂備礁鎲¢〃鍫ュ磻閻愮儤鍊堕柛顐ゅ枔缁犻箖鎮楅悽鐧诲綊顢撳畝鍕厱婵炲棗绻愰弳娆愩亜椤愩垻绠婚柟鐓庣秺瀹曠兘顢橀悪鍛簥濠电姵顔栭崰妤呫€冮崨顓囨稑鈻庨幘鏉戜患闂佸壊鍋呭ú姗€鍩涢幋鐘电=濞达絿娅㈡笟娑欑箾閸喐顥堥柡灞诲姂瀵挳濡搁妶澶婁粣闂備胶绮笟妤呭窗濞戞氨涓嶆繛鎴炃氬Σ鍫熺箾閸℃ê鐏ュ┑顔芥倐閺岋絾鎯旈敍鍕殯闂佺ǹ楠稿畷顒冪亱閻庡厜鍋撻柛鏇ㄥ亞椤斿棗鈹戦悙鍙夆枙濞存粍绻堥崺娑㈠箣閿旂晫鍘卞┑鐐村灦閿曨偊宕濋悢铏圭<闁绘ǹ娅曞畷宀勬煙椤旂瓔娈旀い顐g箞閹剝鎯旈敍鍕綁闂傚倷娴囧銊х矆娴h櫣鐭撻柣鐔煎亰閸ゆ洘銇勯弴妤€浜鹃悗瑙勬礃鐢帡銈导鏉戞そ闁告劦浜滅花銉╂⒒閸屾艾鈧绮堟笟鈧獮鏍敃閵堝棗浠忓銈嗗姧缁犳垹澹曢崸妤佺厵闁诡垱婢樿闂佺ǹ顑傞弲婊呮崲濞戞﹩鍟呮い鏃囧吹閸戝綊姊虹紒妯诲鞍缂佸鍨垮﹢渚€姊洪幐搴g畵闁瑰啿绻橀獮澶愬箹娴e憡鐎梺鍓插亝閹﹪寮崼鐔蜂汗闂傚倸鐗婄粙鎰垝鐠鸿 鏀介柣鎰级閳绘洟鏌涘▎蹇撴殻濠碘€崇摠缁楃喖鍩€椤掆偓椤曪絾绂掔€e灚鏅i梺缁樺姍濞佳囩嵁閹扮増鈷掑ù锝呮啞閸熺偤鏌涢弮鈧崹鍨暦濠靛棭鍚嬪璺侯儏閳ь剙鐖奸弻娑㈩敃閻樻彃濮曢梺绋匡功閺佸骞冨畡鎵虫瀻闊洦鎼╂禒鍓х磽娴f彃浜鹃梺鍛婂姀閺傚倹绂嶅⿰鍫熺厪濠电偛鐏濋崝鐢告椤掑澧い銊e劦閹瑧鎷犺閸氼偊鎮楀▓鍨灆缂侇喗鐟╅妴浣割潨閳ь剟骞冨▎鎾搭棃婵炴垶岣块鍥⒒閸屾艾鈧绮堟笟鈧獮澶愭晸閻樿尙顦梺纭呮彧缁犳垹绮堟径鎰婵烇綆鍓欐俊鑲╃棯閹呯Ш闁哄被鍔戦幃銈夊磼濞戞﹩浼�

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知:拋物線y=ax2+bx+c(a≠0)的圖象經(jīng)過點(1,0),一條直線y=ax+b,它們的系數(shù)之間滿足如下關(guān)系:a>b>c.
(1)求證:拋物線與直線一定有兩個不同的交點;
(2)設(shè)拋物線與直線的兩個交點為A、B,過A、B分別作x軸的垂線,垂足分別為A1、B1.令k=
c
a
,試問:是否存在實數(shù)k,使線段A1B1的長為4
2
.如果存在,求出k的值;如果不存在,請說明理由.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(2013•貴陽)已知:直線y=ax+b過拋物線y=-x2-2x+3的頂點P,如圖所示.
(1)頂點P的坐標(biāo)是
(-1,4)
(-1,4)

(2)若直線y=ax+b經(jīng)過另一點A(0,11),求出該直線的表達(dá)式;
(3)在(2)的條件下,若有一條直線y=mx+n與直線y=ax+b關(guān)于x軸成軸對稱,求直線y=mx+n與拋物線y=-x2-2x+3的交點坐標(biāo).

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題

已知:拋物線數(shù)學(xué)公式,其中a、b、c是△ABC的∠A、∠B、∠C的對邊.
(1)求證:拋物線與x軸必有兩個不同交點;
(2)設(shè)直線y=ax-bc與拋物線交于E、F兩點,與y軸交于點M,拋物線與y軸交于點N,若拋物線的對稱軸為x=a,△MNE與△MNF的面積比為5:1,求證:△ABC是等邊三角形;
(3)在(2)的條件下,設(shè)△ABC的面積為數(shù)學(xué)公式,拋物線與x軸交于點P、Q,問是否存在過P、Q兩點且與y軸相切的圓?若存在,求出圓的圓心坐標(biāo),若不存在,請說明理由.

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源:2009年四川省綿陽市南山中學(xué)自主招生考試數(shù)學(xué)試卷(解析版) 題型:解答題

已知:拋物線,其中a、b、c是△ABC的∠A、∠B、∠C的對邊.
(1)求證:拋物線與x軸必有兩個不同交點;
(2)設(shè)直線y=ax-bc與拋物線交于E、F兩點,與y軸交于點M,拋物線與y軸交于點N,若拋物線的對稱軸為x=a,△MNE與△MNF的面積比為5:1,求證:△ABC是等邊三角形;
(3)在(2)的條件下,設(shè)△ABC的面積為,拋物線與x軸交于點P、Q,問是否存在過P、Q兩點且與y軸相切的圓?若存在,求出圓的圓心坐標(biāo),若不存在,請說明理由.

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同步練習(xí)冊答案
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